一、题目描述
给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。
示例 1：
输入：x = 4 输出：2
示例 2：
输入：x = 8 输出：2 解释：8 的算术平方根是 2.82842..., 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。
提示：
0 <= x <= 2^31 - 1
二、解题思路
1. 问题转化：将求整数 x 的平方根转化为在整数范围内寻找一个数 y，使得 y * y 最接近但不超过 x。
2. 二分查找：初始化两个指针 left 和 right，分别指向 0 和 x。
3. 迭代过程：在 left 和 right 之间进行二分查找。
4. 中间值计算：在每次迭代中，计算中间值 mid，其中 mid = left + (right - left) / 2。
5. 条件判断：
- 如果
mid * mid等于x，则返回mid。 - 如果
mid * mid小于x，则将left设置为mid + 1。 - 如果
mid * mid大于x，则将right设置为mid - 1。
6. 结束条件：当 left 大于 right 时，right 就是我们要找的答案。
7. 特殊情况处理：当 x 为 0 或 1 时，直接返回 x。
8. 结果返回：返回通过二分查找找到的平方根的整数部分。
三、具体代码
class Solution {public int mySqrt(int x) {if (x == 0 || x == 1) {return x;}int left = 1;int right = x;int result = 0;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (mid <= x / mid) {left = mid + 1;result = mid;} else {right = mid - 1;}}return result;}
}
四、时间复杂度和空间复杂度
1. 时间复杂度
- 外层循环的次数取决于
x的值。在最坏的情况下，当x接近 2^31 - 1 时，外层循环可能需要进行大约 16 次迭代（因为 2^31 - 1 的平方根大约是 46000）。 - 每次迭代中，我们执行一次加法、一次减法、一次除法（或取模运算）和一次乘法。这些操作的时间复杂度都是 O(1)。
- 因此，总的时间复杂度是 O(log(x))，其中
x是输入的整数。
2. 空间复杂度
- 代码中只使用了几个变量，如
left、right和result，这些变量的大小与输入无关，因此它们的空间复杂度是 O(1)。 - 没有使用额外的数据结构，如数组或链表，因此空间复杂度不会超过 O(1)。
五、总结知识点
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整数平方根的计算：代码实现了一个函数
mySqrt，用于计算一个非负整数x的平方根。 -
二分查找算法：使用二分查找算法来逼近
x的平方根。二分查找是一种在有序数组中查找特定元素的搜索算法，其时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是数组的长度。 -
边界条件处理：在函数开始时，对特殊情况
x == 0和x == 1进行了特殊处理，直接返回x，因为这些情况下平方根就是x。 -
位运算：在计算中间值
mid时，使用了位运算(right - left) / 2来避免整数溢出的问题。 -
条件判断：使用
if-else语句来根据mid * mid与x的关系调整搜索范围。 -
循环结构：使用
while循环来迭代搜索过程，直到找到合适的平方根。 -
整数运算：代码中使用了整数运算，包括加法、减法、除法和取模运算。
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返回结果：函数返回找到的平方根的整数部分。
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错误处理：虽然在这个特定的问题中没有直接处理错误情况，但代码的结构允许在将来扩展错误处理逻辑。
以上就是解决这个问题的详细步骤，希望能够为各位提供启发和帮助。
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