贪心法确定补水地点

贪心算法是一个简单有趣的算法，它总是做出当前看来最好的选择，每次的局部最优选择最终可以产生整体最优解或整体最优解的近似。本文将介绍如何用贪心法解决补水问题。

1. 补水问题

2升水可以走 $k$ 英里，水站可以把水补满为2升，总距离：11 $k$ 英里，水站位置如下：
| 0 — 0.7 — 1.2 — 2.1 — 2.9 — 3.6 — 3.9 — 4.9 — 5.1 — 5.5 — 6.0 — 7.0 — 7.7 — 8.2 — 9.1 — 9.9 — 10.2 — |

补水问题的目标是走到终点的同时，最小化补水次数。下面我们通过贪心法对该问题进行求解和分析。

2. 贪心法求解思路及证明

2.1 贪心法求解思路

按照贪心算法解得的最优补水方案是：每次取水后走尽可能远，即“假设起点位置是 $a_0$ ，终点位置是 $a_{m+1}$ ，其中经过了 $m$ 个水站，分别设为 $a_1, a_2, …, a_m$ ， $n$ 为水满时可以走的距离。假设路线上任意两点 $x$ ， $y$ 的距离定义为 $d (x, y)$ 。对于当前起点（假设在位置已加满水），下一补水位置选择满足 $d(a_i,a_j) \leq n$ 的最大的 $j$ ”。下面证明该贪心解就是最优解。

2.2 贪心法正确性证明

贪心法正确性的证明分为两步：首先证明最优子结构，然后证明贪心选择性。

2.2.1 最优子结构

假设“考虑 $m$ 个水站”的最优解是补水 $s$ 次且第一次停下补水的位置是，则“考虑剩余 $(m - k)$ 个水站”这个子问题的最优解是补水 $(s - 1)$ 次。（因为如果子问题存在补水次数比 $(s - 1)$ 次更少的解，则可根据这个解构造出原问题的补水次数少于 $s$ 次的解，这就与原问题的最优解产生矛盾。）

2.2.2 贪心选择性

假设存在与贪心解 $x_1, x_2,…, x_k)$ 不同的最优解 $y_1, y_2,…, y_k)$ ，两个解第一个不同的分量为 $x_i，x_i=a_j，y_i=a_t$ ，则用 $a_j$ 替换 $a_t$ ，由于贪心解选取的 $j$ 是满足 $d(x_{i-1}, a_j) \leq n$ 的最大的 $j$ ，最优解中的 $a_t$ 也须满足 $d(x_{i-1},a_t) \leq n$ ，故 $t < j$ ，因此对最优解中选择的下一个补水站 $a_h$ ， $d(a_t,a_h) \geq d(a_j,a_h)$ 。所以用 $a_j$ 替换 $a_t$ 仍然可以保证路线正常走完，并且补水次数和原来的相同。故贪心选择性得证。

3. 程序代码

运行以下C++程序代码water.cpp，程序会给出在“水站位置为{0, 0.7, 1.2, 2.1, 2.9, 3.6, 3.9, 4.9, 5.1, 5.5, 6.0, 7.0, 7.7, 8.2, 9.1, 9.9, 10.2}，总距离为11，水满时可以走1英里”的条件下，实现最小化补水次数的补水方案。

算法实现流程大致是：d[]储存每个水站距离起点的距离，f[]标记相应的水站是否需要加水(0-不加，1-加)，从第2个水站开始遍历，如果某个水站的距离起点的距离大于当前能走的最远距离，则在前一站加水，在f[]中相应的位置标记，加水后更新当前能走的最远距离，直至到达终点结束。该算法的时间复杂度为 $O (m)$ 。

#include <iostream>using namespace std;const int N = 17;  //水站的个数 //贪心法选择在哪一个水站加水，d[]储存每个水站距离起点的距离，f[]标记相应的水站是否需要加水(0-不加，1-加) 
void greedy_fillup(float d[], int f[]) { float maxDistance = 1; //最初水箱满时可以走1英里 for (int i = 2; i <= N; i++) { //从第2个水站扩展到最后一个水站 if (d[i] > maxDistance) { //如果某个水站的距离起点的距离大于当前能走的最远距离，则在前一站加水 f[i - 1] = 1;         //标记前一站需要加水maxDistance = 1 + d[i - 1]; //改变当前能走的最远距离，因为在第i-1站已经加过水，则在第i-1站的距离上加1 }}
}//根据f[]和d[]打印最优解 
void print_opitimal_solution(float d[], int f[]) { for (int i = 1; i <= N; i++) {if (f[i] == 1) {cout << "The refilling location "<< i << " is chosen, and its distance is " << d[i] << endl;	}}
}int main() {//d[i]表示第i个水站距离起点的距离 float d[N + 1] = {0, 0.7, 1.2, 2.1, 2.9, 3.6, 3.9, 4.9, 5.1, 5.5, 6.0, 7.0, 7.7, 8.2, 9.1, 9.9, 10.2, 11};//f[i]标记第i个水站是否加水，0-不加，1-加int f[N + 1] = {0};greedy_fillup(d, f);print_opitimal_solution(d, f);return 0;
}