树 和 二叉树

目录

一、树

1、初识树

2、树的一些概念

3、树的表示形式

二、二叉树

1、初识二叉树

2、两种特殊的二叉树

3、二叉树的性质 

4、二叉树的遍历

5、实现一棵二叉树 

6、二叉树题目（没代码的后面会给补上）

一、树

1、初识树

（1）根节点没有前驱。

（2）子树的根节点只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

（3）每个子树都是不相交的，子树之间不能有交集。

（4）N个结点有N-1条边

2、树的一些概念

1、结点的度：这个结点有几个子树，度就为几

2、树的度：所有结点度的最大值就是树的度

3、根结点：没有前驱的结点

4、叶子结点或终端结点：没有后继的结点（没有子树），即度为0的结点

5、分支结点或非终端结点：有后继的结点（有子树），即度不为0的结点

6、双亲结点或父结点：结点的前驱就是该结点的父结点

7、孩子结点或子结点：结点的后继就是该结点的子结点

8、兄弟结点：具有相同父结点的结点互为兄弟结点

9、堂兄弟结点：父结点在同一层的结点互为堂兄弟结点

10、结点的祖先：从根结点到该结点一路上经过的所有结点都是该结点的祖先，如：根结点是除自身外所有结点的祖先

11、子孙：该结点后面的所有结点都是该结点的子孙，如：除根结点外所有结点都是根结点的子孙

12、结点的层次：根为第1层，以此类推

13、深度：该结点的层次就是深度

14、树的高度：树中结点的最大层次就是树的高度

15、森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林，空树也叫森林

3、树的表示形式

树可以有：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法，孩子兄弟表示法等等

二、二叉树

1、初识二叉树

（1）二叉树是树

（2）二叉树的每个根结点都只有两棵子树，分别为左子树和右子树

（3）二叉树也可以是空树

（4）二叉树的度 <=2，所以二叉树的结点个数 = 度为0的结点个数+度为1的结点个数+度为2的结点个数

2、两种特殊的二叉树

（1）满二叉树

除叶子结点外，结点的度都为2，结点总数为：(2^k)-1，k为树的高度

（2）完全二叉树

从上到下，从左到右，中间不少结点。

满二叉树是特殊的完全二叉树。

完全二叉树中，度为1的结点个数 要么为0，要么为1 —— 结点总数是偶数时，度为1的结点个数为 1，结点总数是奇数时，度为1的结点个数为 0

3、二叉树的性质 

1、二叉树的第 k 层，最多有 2^(k-1) 个结点（空树除外）

2、深度为 k 的二叉树，最多有(2^k)-1个结点

3、任意一棵二叉树，叶子结点的个数 比 度为2的结点的个数 多 1

4、n个结点的完全二叉树，深度k为：(2^k) -1= n，k为 log以2为底n+1的对数，向上取整

5、完全二叉树，

若父结点下标为 i，则 左孩子下标为：2*i+1，右孩子下标为：2*i+2

若子结点下标为 i，则父结点下标为：​​​​​​​（i-1）/2

题目：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（B、 200 ）199+1

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A、n）2n = n0+1+n0-1

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（B、384）767 = n0+0+n0-1

4、二叉树的遍历

前序遍历：根，左子树，右子树

中序遍历：左子树，根，右子树

后序遍历：左子树，右子树，根

层序遍历：从上到下，从左到右

如：写出下面这棵二叉树的前序遍历，中序遍历，后序遍历，层序遍历的结果

前序遍历：A B D E H C F G

中序遍历：D B E H A F C G

后序遍历：D H E B F G C A

层序遍历：A B C D E F G H

题目：

1、设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为(D)

A: adbce B: decab C: debac D: abcde

后序遍历，从后往前，每一个结点都是根结点。拿着根结点，去中序遍历里看，根结点的左边属于左子树的结点，根结点的右边属于右子树的结点。

如，后序遍历从后往前第一个结点就是整棵树的根结点 a，然后看中序遍历，则，b 属于左子树的结点，dce 属于右子树的结点。然后再看后序遍历从后往前第二个结点，以此类推。

由此题引出两个问题，

问题一：如果只给一个遍历，能否创建一棵二叉树？

不能。因为有可能存在两棵不同的树，某一个遍历是一样的。

问题二：如果只给前序遍历和后序遍历，能否创建一棵二叉树？

不能。前序遍历和后序遍历都是只能确定根的位置，但不能确定左子树或右子树。

5、实现一棵二叉树 

二叉树的存储结构（物理结构）有：顺序存储和链式存储

这里我们使用孩子表示法来实现一个链式存储结构的二叉树。

1、前序遍历 2、中序遍历 3、后序遍历
4、获取树中结点的个数 5、获取叶子结点的个数 6、获取第 k层 结点的个数
7、获取二叉树的高度
8、获取第k层的所有结点：有点 带返回值的前序遍历 和 获取第 k层 结点的个数 的结合版
9、找到值为value的元素
10、层序遍历：和层序遍历相关的想到用 队列，用队列会比较方便
11、判断这棵树是不是完全二叉树：用 队列
public class MyBinaryTree {static class TreeNode{public char val;public TreeNode leftTree;//存储左子树的引用public TreeNode rightTree;//存储右子树的引用public TreeNode(char val){this.val = val;}}//创建一棵树public TreeNode createTree(){TreeNode A = new TreeNode('A');TreeNode B = new TreeNode('B');TreeNode C = new TreeNode('C');TreeNode D = new TreeNode('D');TreeNode E = new TreeNode('E');TreeNode F = new TreeNode('F');TreeNode G = new TreeNode('G');TreeNode H = new TreeNode('H');A.leftTree = B;A.rightTree = C;B.leftTree = D;B.rightTree = E;C.leftTree = F;C.rightTree = G;E.rightTree = H;return A;}//前序遍历public void preOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}System.out.print(root.val+" ");preOrder(root.leftTree);preOrder(root.rightTree);}//带返回值public List<Character> preorderTraversal(TreeNode root) {//子问题思路：先放根，然后放左子树，然后放右子树List<Character> list = new ArrayList<>();//递归的终止条件if(root == null){return list;}list.add(root.val);list.addAll(preorderTraversal(root.leftTree));list.addAll(preorderTraversal(root.rightTree));return list;}//中序遍历public void inOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}inOrder(root.leftTree);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.rightTree);}//后序遍历public void postOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}postOrder(root.leftTree);postOrder(root.rightTree);System.out.print(root.val+" ");}//获取树中结点的个数public int size(TreeNode root){//左子树结点的个数+右子树结点的个数+1//递归的终止条件if(root == null){return 0;}return size(root.leftTree)+size(root.rightTree)+1;}//获取叶子结点的个数public int getLeafNodeCount(TreeNode root){//左子树叶子结点的个数+右子树叶子结点的个数if(root == null){return 0;}//满足下面条件的就是叶子结点,递归的终止条件if(root.leftTree == null && root.rightTree == null){return 1;}return getLeafNodeCount(root.leftTree) + getLeafNodeCount(root.rightTree);}//获取第 k层 结点的个数public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k){//第k层结点的个数 = 左子树第k-1层结点的个数+右子树第k-1层结点的个数if(k <= 0){throw new KWrongFulException("k不合法异常");}//如果k大于树的高度，k还没减到0，root先变成null，返回0//下面两个都算循环的终止条件if(root == null){return 0;}if(k == 1){return 1;}return getKLevelNodeCount(root.leftTree,k-1)+getKLevelNodeCount(root.rightTree,k-1);}//获取二叉树的高度public int getHeight(TreeNode root){//左子树的高度，右子树的高度的最大值 +1if(root == null){return 0;}int leftHeight = getHeight(root.leftTree);int rightHeight = getHeight(root.rightTree);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1 : rightHeight+1;}//获取第 k 层的所有结点//有点像 带返回值的前序遍历 和 获取第 k层 结点的个数 的结合public List<Character> KLevel(TreeNode root,int k){List<Character> list = new LinkedList<>();if(root == null){return list;}//把 第 k 层的每一个结点都 add 进 list，返回给父结点if(k == 1){list.add(root.val);return list;}//父结点接收到两个子结点返回的 list，add到自己的list里list.addAll(KLevel(root.leftTree,k-1));list.addAll(KLevel(root.rightTree,k-1));//然后返回给他的父结点，于是层层递进，最后根结点的list里 放的就是 第k层 的所有结点return list;}//找到值为value的元素public TreeNode find(TreeNode root,char val){//先找根，然后找左子树，然后找右子树，找到就返回，找不到返回null//下面两个都是递归的终止条件if(root == null){return null;}if(root.val == val){return root;}TreeNode ret1 = find(root.leftTree,val);//如果 ret1 里面不是空，说明找到了//如果 ret1 里面是空，说明没找到if (ret1 != null){return ret1;}TreeNode ret2 = find(root.rightTree,val);if (ret2 != null){return ret2;}return null;}//层序遍历：用到队列，先进先出//层序遍历不用递归比较方便，本来就是按顺序（从上到下，从左到右）输出的呀，// 不像前序中序和后序遍历，必须得递归public void levelOrder(TreeNode root){Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();if(root == null){return;}queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()){TreeNode ret = queue.poll();System.out.print(ret+" ");if(ret.leftTree != null){queue.offer(ret.leftTree);}if(ret.leftTree != null){queue.offer(ret.rightTree);}}}//有返回值的层序遍历：用到队列比较方便//难点在如何确定每一层，这里我们用到了队列中的size//每一轮都要定义一个sizepublic List<List<Character>> levelOrderTraversal(TreeNode root){List<List<Character>> tmp = new ArrayList<>();Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();if(root == null){return tmp;}queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()){int size = queue.size();List<Character> list = new ArrayList<>();while(size > 0) {TreeNode ret = queue.poll();size--;list.add(ret.val);if (ret.leftTree != null) {queue.offer(ret.leftTree);}if (ret.rightTree != null) {queue.offer(ret.rightTree);}}tmp.add(list);}return tmp;}//判断这棵树是不是完全二叉树：用队列public boolean isCompleteTree(TreeNode root){Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();if(root == null){return true;}queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()){TreeNode ret = queue.peek();if(ret == null){break;}queue.poll();queue.offer(ret.leftTree);queue.offer(ret.rightTree);}//走到这，队列里要么都是null，要么除了null还有结点，后者说明不是完全二叉树while(!queue.isEmpty()){TreeNode ret = queue.poll();if(ret != null){return false;}}return true;}
}

6、二叉树题目（没代码的后面会给补上）

1、判断两棵树相不相等
2、判断其中一棵树是不是另一棵树的子树
3、翻转二叉树
4、判断是不是平衡二叉树
5、判断两棵二叉树是不是镜像对称
6、判断是不是轴对称二叉树
7、二叉树的层序遍历
8、二叉树的构建和遍历
9、给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先
10、二叉搜索树转换成排序双向链表
11、二叉树前序非递归遍历实现
12、二叉树中序非递归遍历实现
13、二叉树后序非递归遍历实现
14、根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树
15、根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树
16、二叉树创建字符串

（1）判断两棵树是否相同 链接

//时间复杂度：O(min(m,n))，其中 m和n 分别是两个二叉树的结点数
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {//先判断根一样不，再判断左子树一样不，再判断右子树一样不，只有全一样(结构和值都一样)，才返回true//如果都是空树if(p == null && q == null){return true;}//如果一个是空树，一个不是if((p == null && q != null) || (p != null && q == null)){return false;}//走到这，则两个都不是空树//值不相等if(p.val != q.val){return false;}//走到这，既不是空树，根的值也相等return isSameTree(p.left,q.left) && isSameTree(p.right,q.right);
}

（2）判断其中一棵树是不是另一棵树的子树 链接 

/*** 2、判断其中一棵树是不是另一棵树的子树* 时间复杂度：O(m*n)，其中 m和n 分别是两个二叉树的结点数*/public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot) {//题目中已经给出了：两棵树都不是空树//如果一直没有匹配，root就会一直root.left，root会为空if(root == null || subRoot == null){return false;}//先判断subRoot是否和root相等，if(isSameTree(root,subRoot)) return true;//再判断subRoot是否是root的左子树的子树if(isSubtree(root.left,subRoot)) return true;//再判断subroot是否是root的右子树的子树if(isSubtree(root.right,subRoot)) return true;return false;}public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q) {//先判断根一样不，再判断左子树一样不，再判断右子树一样不，只有全一样(结构和值都一样)，才返回true//如果都是空树if(p == null && q == null){return true;}//如果一个是空树，一个不是if((p == null && q != null) || (p != null && q == null)){return false;}//走到这，则两个都不是空树//值不相等if(p.val != q.val){return false;}//走到这，既不是空树，根的值也相等return isSameTree(p.left,q.left) && isSameTree(p.right,q.right);}

（3）翻转二叉树 链接

public TreeNode invertTree(TreeNode root) {//先翻转根结点的左子树和右子树，再翻转左子树的左子树和右子树，再翻转右子树的左子树和右子树if(root == null){return null;}TreeNode tmp = root.left;root.left = root.right;root.right = tmp;invertTree(root.left);invertTree(root.right);return root;
}

（4）判断是不是平衡二叉树 链接

//判断是不是平衡二叉树，时间复杂度O(n)public boolean isBalanced(TreeNode root) {//平衡二叉树：每棵子树的高度差都要 <=1if(root == null){return true;}int ret = height(root);if(ret == -1){return false;}return true;}//求二叉树的高度，时间复杂度是O(n)//求根结点高度的时候，其实已经求了所有结点的高度，如果发现左树右树高度差大于1，说明已经不平衡了，就返回-1//否则就返回左树右树高度最大值+1//所以，我们需要在每次获得左树和右树高度的时候，都接收判断一下，如果发现接收到的是-1，说明已经出现了不平衡//如果一直没有接收到-1，说明这个二叉树的每棵子树都是平衡的，所以这棵二叉树是高度平衡的二叉树。//求二叉树的高度public int height(TreeNode root){if(root == null){return 0;}//求左子树的高度int leftH = height(root.left);if(leftH == -1){return -1;}//求右子树的高度int rightH = height(root.right);if(rightH == -1){return -1;}//如果左右子树的高度差 <= 1，返回左右子树高度的最大值+1//如果左右子树的高度差 > 1，返回-1，说明已经出现不平衡了if(Math.abs(leftH - rightH) <= 1){return Math.max(leftH,rightH) + 1;}else{return -1;}}

（5）判断两棵树是不是镜像对称

public boolean isMirrorSymmetry(TreeNode leftTree,TreeNode rightTree){//如果两个都是空树if(leftTree == null && rightTree == null){return true;}//如果一个是空树一个不是if((leftTree == null && rightTree != null) || (leftTree != null && rightTree == null)){return false;}//到这，两个都不是空树if(leftTree.val != rightTree.val){return false;}//到这，两个都不是空树，且根的值相同return isMirrorSymmetry(leftTree.left,rightTree.right) &&isMirrorSymmetry(leftTree.right,rightTree.left);
}

（6）判断是不是轴对称二叉树 链接

public boolean isSymmetric(TreeNode root) {if(root == null){return true;}//从第二层开始，比较左子树和右子树是否是镜像的return isMirrorSymmetry(root.left,root.right);}//先比较根是否是镜像的，再比较子树是否是镜像的public boolean isMirrorSymmetry(TreeNode leftTree,TreeNode rightTree){//如果两个都是空树if(leftTree == null && rightTree == null){return true;}//如果一个是空树一个不是if((leftTree == null && rightTree != null) || (leftTree != null && rightTree == null)){return false;}//到这，两个都不是空树if(leftTree.val != rightTree.val){return false;}//到这，两个都不是空树，且根的值相同return isMirrorSymmetry(leftTree.left,rightTree.right) &&isMirrorSymmetry(leftTree.right,rightTree.left);}

（7）二叉树的层序遍历 链接

//有返回值的层序遍历：用到队列比较方便
//难点在如何确定每一层，这里我们用到了队列中的size
//每一轮都要定义一个sizepublic List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {List<List<Integer>> tmp = new ArrayList<>();Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();if(root == null){return tmp;}queue.offer(root);while(!queue.isEmpty()){int size = queue.size();List<Integer> list = new ArrayList<>();while(size > 0) {TreeNode ret = queue.poll();size--;list.add(ret.val);if (ret.left != null) {queue.offer(ret.left);}if (ret.right != null) {queue.offer(ret.right);}}tmp.add(list);}return tmp;
}

（8）二叉树的构建和遍历 链接

public class Main {static class TreeNode{public char val;public TreeNode leftTree;//存储左子树的引用public TreeNode rightTree;//存储右子树的引用public TreeNode(char val){this.val = val;}}public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);while (scanner.hasNextLine()) { String str = scanner.nextLine();//str里存的就是读入的字符串//首先遍历字符串，拿到字符串中的每个元素，//并创建结点，通过前序遍历构造一棵二叉树TreeNode root = createTree(str);//然后再中序遍历输出inOrder(root);}}//通过前序遍历构造二叉树public static int i = 0;public static TreeNode createTree(String str){TreeNode root = null;//通过i拿到字符串中的每个字符char ch = str.charAt(i);i++;if(ch == '#'){return null;}//把拿到的元素创建成结点root = new TreeNode(ch);root.leftTree = createTree(str);root.rightTree = createTree(str);return root;   }//中序遍历输出public static void inOrder(TreeNode root){if(root == null){return;}inOrder(root.leftTree);System.out.print(root.val+" ");inOrder(root.rightTree);}
}

（9）给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先  链接

 public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {if(root == null){return null;}// p 和 q 其中有一个是rootif(p == root || q == root){return root;}// p 和 q 分别在 root 的两侧// p 和 q 都在 root 的左侧 或 root 的右侧TreeNode ret1 = lowestCommonAncestor(root.left,p,q);TreeNode ret2 = lowestCommonAncestor(root.right,p,q);if(ret1 != null && ret2 != null){return root;}else if(ret1 != null){return ret1;}else if(ret2 != null){return ret2;}else{return null;}
}

（10）二叉搜索树转换成排序双向链表 链接

public TreeNode convert(TreeNode pRootOfTree) {//二叉搜索树：根左边的比根小，根右边的比根大//中序遍历二叉搜索树是有序的，是从小到大的//所以，转换成排序的双向链表，采用中序遍历的方法if(pRootOfTree == null){return null;}convertChild(pRootOfTree);TreeNode head = pRootOfTree;//链表的头就是二叉搜素树最左边的那个结点while(head.left != null){head = head.left;}return head;}public TreeNode prev = null;public void convertChild(TreeNode pRoot){if(pRoot == null){return;}convertChild(pRoot.left);if(prev != null){prev.right = pRoot;}pRoot.left = prev;prev = pRoot;convertChild(pRoot.right);}

（11）二叉树前序非递归遍历实现 链接

public TreeNode cur = null;public List<Integer> preorderTraversal(TreeNode root) {Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();List<Integer> list = new ArrayList<>();//用到栈//前序遍历：根，左，右。往左走，一直入栈，只有这个节点没用了，才能出栈。if(root == null){return list;}cur = root;while(cur != null || !stack.empty()){while(cur != null){stack.push(cur);list.add(cur.val);cur = cur.left;}//cur 等于空，说明cur的左走完了，此时栈顶元素就是cur//根和左走完了，此时才能弹出栈顶元素（因为直到这时栈顶元素才没用了）cur = stack.pop();cur = cur.right;}return list;}

（12）二叉树中序非递归遍历实现 链接

（13）二叉树后序非递归遍历实现 链接

（14）根据一棵树的前序遍历与中序遍历构造二叉树 链接

（15）根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树 链接

（16）二叉树创建字符串 链接

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1、设置定时任务 crontab -e 设置格式参考&#xff1a;【Linux】Linux crontab 命令定时任务设置_crontab 设置每天10:30执行-CSDN博客 测试过程&#xff1a; */1 * * * * /root/cronjob.sh 脚本内容: echo "hell0 cronjob" >> /root/test/hello.txt 实现…
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extends继承

extends继承

目录 什么时候用继承? 继承的格式? 继承的特点 子类可以继承父类的哪些呢&#xff1f; 是否可以继承父类的构造方法呢&#xff1f; 是否可以继承成员变量&#xff1f; 是否可以继承成员方法&#xff1f; 在Java中&#xff0c;extends关键字用于实现继承关系。通过使用…
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24年重庆三支一扶报名照不通过怎么处理？

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Laravel 11入门：使用ServBay打造高效开发环境

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Laravel 11发布&#xff0c;改进了不少功能。 它引入了更加流畅的应用结构、每秒限速、健康路由等特性。 此外&#xff0c;Laravel还推出了第一方可扩展的WebSocket服务器Laravel Reverb&#xff0c;为你的应用提供强大的实时功能。 在今天的指南中&#xff0c;我将设置一个…
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ASP.NET基于BS课件发布系统

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摘 要&#xff1a;本文在分析建立动态网站的技术细节和课件发布工作流程的基础上&#xff0c;阐述了网站的结构与功能设计。本网站采用的是B/S结构&#xff0c;网站使用 Microsoft Visual Studio .NET2003作为主要开发工具&#xff0c;采用Dreamweaver 作为辅助开发工具实现网…
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