【面试经典 150 | 数学】直线上最多的点数

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题目来源
解题思路
- 方法一：枚举直线+遍历统计
- 方法二：枚举斜率+哈希统计
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本专栏专注于分析与讲解【面试经典150】算法，两到三天更新一篇文章，欢迎催更……

专栏内容以分析题目为主，并附带一些对于本题涉及到的数据结构等内容进行回顾与总结，文章结构大致如下，部分内容会有增删：

Tag：介绍本题牵涉到的知识点、数据结构；
题目来源：贴上题目的链接，方便大家查找题目并完成练习；
题目解读：复述题目（确保自己真的理解题目意思），并强调一些题目重点信息；
解题思路：介绍一些解题思路，每种解题思路包括思路讲解、实现代码以及复杂度分析；
知识回忆：针对今天介绍的题目中的重点内容、数据结构进行回顾总结。

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【数学-点在线上】

题目来源

149. 直线上最多的点数

解题思路

方法一：枚举直线+遍历统计

我们都知道两点确定一条直线，为了统计最多有多少个点可以落在同一条直线上，我们可以枚举所有的直线，然后统计剩余落在该直线上的点的个数，最后取出不同直线上的点数的最大值即为最终答案。

为了判断点 p 是否落在点 x 和 y 确定的直线上，我们通过三点的任意两点之间的斜率是否相同来确定。

比如可以判断点 x 和 y 的斜率与 y 和 p 之间的斜率是否一致，即判断

$\frac{y[1] - x[1]}{y[0] - x[0]} = \frac{y[1] - p[1]}{y[0] - p[0]}$

是否成立。但是除法运算容易引发精度误差，为了防止这一问题对结果的影响，我们可以将上式转换成乘法表达式，直接判断：

$(y [1] - p [1]) * (y [0] - x [0]) = (y [1] - x [1]) * (y [0] - p [0])$

是否成立。

实现代码

class Solution {
public:int maxPoints(vector<vector<int>>& points) {int res = 0, n = points.size();if (n == 1) return 1;for (int i = 0; i < n-1; ++i) {             // x 点for (int j = i + 1; j < n; ++j) {       // y 点int cnt = 0;    for (int k = 0; k < n; ++k) {       // p 点if ((points[j][1] - points[k][1]) * (points[j][0] - points[i][0]) == (points[j][1] - points[i][1]) * (points[j][0] - points[k][0])) {++cnt;}}res = max(res, cnt);}}return res;}
};

复杂度分析

时间复杂度： $O(n^3)$ 。

空间复杂度： $O (1)$ 。

方法二：枚举斜率+哈希统计

方法二参考枚举直线 + 哈希表统计。

在方法一中枚举的是直线，其实本质上枚举的是斜率，接着判断其它点与该直线的一点连接的直线斜率是否一致。

现在，我们可以直接枚举所有出现的 直线斜率，使用哈希表统计所有斜率对应的点的数量，在所有值中去个最大值即为答案。

注意：在使用哈希表进行保存时，为了避免精度问题，我们直接使用字符串进行保存。同时需要将斜率约分干净再记录到哈希表中。

实现代码

class Solution {
public:int maxPoints(vector<vector<int>>& points) {int n = points.size(), res = 1;for (int i = 0; i < n; i++) {map<string, int> map;int maxv = 0;for (int j = i + 1; j < n; j++) {int x1 = points[i][0], y1 = points[i][1], x2 = points[j][0], y2 = points[j][1];int a = x1 - x2, b = y1 - y2;int k = gcd(a, b);string key = to_string(a / k) + "_" + to_string(b / k);map[key]++;maxv = max(maxv, map[key]);}res = max(res, maxv + 1);}return res;}int gcd(int a, int b) {return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);}
};

复杂度分析

时间复杂度： $O(n^2 \times logm)$ ， $m$ 为横纵坐标的最大差值，单次最大公约数计算时间复杂度为 $O (l o g m)$ 。