算法打卡day45|动态规划篇13| Leetcode 300.最长递增子序列、674. 最长连续递增序列、718. 最长重复子数组

算法题

Leetcode 300.最长递增子序列

题目链接:300.最长递增子序列

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个人思路

没什么思路,菜就多练!

解法

动态规划

“子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序”。

子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标i的递增子序列长度，其实和i之前的下标j的子序列长度有关系;

动规五部曲：

1.dp[i]的定义

dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

之所以表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为在做递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾和 nums[i]为结尾

2.状态转移方程

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意:这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是要取dp[j] + 1的最大值。

3.dp[i]的初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

4.确定遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要把 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。所以默认习惯从前向后遍历。遍历i的循环在外层，遍历j则在内层

5.举例推导dp数组

输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：

class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {int[] dp = new int[nums.length];int res = 1;Arrays.fill(dp, 1);//初始化数组初始值for (int i = 1; i < dp.length; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);//找递增最大值}res = Math.max(res, dp[i]);//存取结果}}return res;}
}

时间复杂度:O(n^2)；（for嵌套遍历数组）

空间复杂度:O( n);（存储一个长度为n的dp数组）

Leetcode 674. 最长连续递增序列

题目链接:674. 最长连续递增序列

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个人思路

这道题与上面那道题是类似的，甚至更简单,因为是找连续的递增序列大小,只用比较一前一后,所以不用嵌套for循环遍历,只用遍历i,一边遍历一边存取最大递增序列

解法

动态规划

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。

2.确定递推公式

如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。

即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）,因此本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

3.dp数组如何初始化

以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。所以dp[i]应该初始1;

4.确定遍历顺序

从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

5.举例推导dp数组

已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：

public static int findLengthOfLCIS(int[] nums) {int[] dp = new int[nums.length];for (int i = 0; i < dp.length; i++) {//初始化dp[i] = 1;}int res = 1;for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {if (nums[i + 1] > nums[i]) {dp[i + 1] = dp[i] + 1;}res = res > dp[i + 1] ? res : dp[i + 1];//存储最长连续递增序列长度}return res;}

时间复杂度:O(n)；（遍历数组）

空间复杂度:O(n);（使用一个dp数组）

贪心法

这道题目也可以用贪心来做，思路为: 遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况，count就++，否则count为1，记录count的最大值。

public static int findLengthOfLCIS(int[] nums) {if (nums.length == 0) return 0;int res = 1; // 连续子序列最少也是1int count = 1;for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {if (nums[i + 1] > nums[i]) { // 连续记录count++;} else { // 不连续，count从头开始count = 1;}if (count > res) res = count;//更新最长子序列长度}return res;
}

时间复杂度:O(n)；（遍历数组）

空间复杂度:O(1);（无使用其他大的额外空间）

Leetcode 718. 最长重复子数组

题目链接:718. 最长重复子数组

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个人思路

这题是动态规划的经典题目,可以用二维数组来记录两个字符串的所有比较情况

解法

动态规划

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。

（特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是以A[i-1]为结尾的字符串）

2.确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

3.dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

举个例子:A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

4.确定遍历顺序

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。都是从前往后遍历,并在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。

5.举例推导dp数组

拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，以下是dp数组的状态变化

class Solution {public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {int result = 0;int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];for (int i = 1; i < nums1.length + 1; i++) {//从1开始for (int j = 1; j < nums2.length + 1; j++) {if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;result = Math.max(result, dp[i][j]);//保存最长重复数组长度}}}return result;}
}

时间复杂度:O(n*m)；（n 为nums1长度，m为nums2长度）

空间复杂度:O( n*m);（二维dp数组）

滚动数组

因为dp[i][j]都是由dp[i - 1][j - 1]推出,那么压缩为一维数组，也就是dp[j]都是由dp[j - 1]推出。也就是相当于可以把上一层dp[i - 1][j]拷贝到下一层dp[i][j]来继续用。

此时遍历B数组的时候，就要从后向前遍历，这样避免重复覆盖。

class Solution {public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {int[] dp = new int[nums2.length + 1];int result = 0;for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {for (int j = nums2.length; j > 0; j--) {if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {dp[j] = dp[j - 1] + 1;} else {dp[j] = 0;}result = Math.max(result, dp[j]);}}return result;}
}