图
- 1. 定义
- 1.1 无向图和有向图
- 1.2 度、入度和出度
- 1.3 图的若干定义
- 1.4 几种特殊的图
- 2. 图的存储
- 2.1 邻接矩阵-顺序存储(数组)
- 2.2 邻接表-顺序存储+链式存储(数组+链表)
- 2.3 十字链表-适用于有向图
- 2.4 邻接多重表-适用于无向图
- 3. 图的基本操作
- EdgeExist(G,v,w)
- AllAdjVex(G,v)
- InsertVex(G,v)
- DeleteVex(G,v)
- InsertEdge(G,v,w)
- 4. 图的遍历
- 4.1 广度优先搜索(BFS)
- 4.2 深度优先搜索(DFS)
1. 定义
图(Graph)是一种比线性表和树更复杂的数据结构。在线性表中,数据元素之间是一对一的关系,每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继。在树形结构中,数据元素之间有明显的层次关系,上一层的数据元素(结点)和下一层的数据元素(结点)是一对多的关系。而在图形结构中,数据元素之间的关系是任意的,是多对多的关系。
在图中,数据元素通常称作顶点
(Vertex),简称V,是有穷非空的集合,记为 V = { v 1 , v 2 , . . . v n } V=\{v_1,v_2,...v_n\} V={v1,v2,...vn},|V|表示顶点个数。两个顶点之间的关系称作边
(Edge),简称E,是有穷的集合,记为 E = ( u , v ) ∣ u ∈ V , v ∈ V E={(u,v)|u\in{V},v\in{V}} E=(u,v)∣u∈V,v∈V,|E|表示边的条数。
图简称G,由顶点集V和边集E组成,记作G=(V,E)
第三幅图不是图的数据结构
1.1 无向图和有向图
图G1中,每条边是没有方向的(无向边),则图G1是无向图。
图中的边是顶点的无序对,例如顶点V1和V2之间的边,记作(V1,V2)或(V2,V1)都可以。
G1=(V1,E1)
V1={V1,V2,V3,V4,V5}
E1={(V1,V2),(V1,V3),(V2,V4),(V3,V5)}
图G2中,每一条边是有方向的(有向边),则图G2是有向图
图中的边是顶点的有序对,例如顶点V2和V1之间的边只能记作<V2,V1>
G2={V2,E2}
V2={V1,V2,V3,V4,V5}
E2={<V2,V1>,<V1,V3>,<V3,V5>,<V5,V3>}
有向边也称为弧
,<V2,V1>称为顶点V2到顶点V1的弧。V2是弧尾(初始点),V1是弧头(终端点)。顶点V2邻接到顶点V1。
简单图:不存在重复的边,不存在顶点到自身的边
1.2 度、入度和出度
无向图:
- 顶点的度:与该顶点关联的边的条数。图G1中,TD(V1)=2,TD(V2)=2…
- 无向图中全部顶点的度的和=边数X2
有向图:
- 入度:以该顶点为终点的边的条数:ID(V1) = 1,TD(V2)=0
- 出度:以该顶点为起点的边的条数:OD(V1)=1,OD(V2)=1
- 度:顶点的度是该顶点的入度和出度之和,TD(V1)=ID(V1)+OD(V1)=2
- 有向图中全部顶点的入度之和等于出度之和
1.3 图的若干定义
路径:从顶点Vx到Vy的顶点序列
回路:第一个顶点和最有一个顶点相同的路径成为回路或环
简单路径:在路径的序列中,顶点没有重复出现
简单回路:除第一个顶点和最后一个顶点外,其他顶点没有重复出现
路径长度:路径上边的条数
顶点到顶点的距离:顶点之间最短路径的长度,如果不存在路径,记为无穷 ∞ \infin ∞
在无向图中,如果顶点Vx到顶点Vy有路径,表示Vx和Vy是连通的。
在有向图中,如果顶点Vx到顶点Vy和顶点Vy到顶点Vx都有路径,表示Vx和Vy是强连通的。
连通图:任意两个顶点都是连通的。
强连通图:任意两个顶点都是强连通的。
生成子图:生成子图包含了原图的全部顶点和若干条边
连通分量:无向图中,极大的连通子图称之为连通分量(是连通子图 每个连通子图尽可能包含更多的顶点和边)
强连通分量:有向图中,极大的强连通子图称之为强连通分量(是强连通子图 每个强连通子图金肯包含更多的顶点和边)
生成树:无向连通图中,生成树是指包含了全部顶点的极小连通子图(连通图 全部顶点 边最少)
带权图:在一个图中,边可以表示某种含义的数值,例如顶点之间的距离,该数值称为边的权值。如果图的边上带了权值,那么该图称为带权图,或网。带权图中,某条路径上全部边的权值之和,称为该路径的带权路径长度。
1.4 几种特殊的图
- 完全图
- 无向完全图:图中任意两个顶点都存在一条边
- 有向完全图:图中任意两个顶点都存在方向相反的两条边
- 稀疏图和稠密图:边很少的图称为稀疏图,反之称为稠密图
- 树:不存在回路的连通无向图
- 有向树:有且仅有一个结点的入度为0,除树根外的结点入度为1,从树根到任一结点有一条有向通路
2. 图的存储
图的存储方式有四种:邻接矩阵、邻接表、十字链表、邻接多重表
2.1 邻接矩阵-顺序存储(数组)
图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储顶点信息,一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。
- 对于图:结点之间有连接则边表中对应项记为1,无连接则记为0。但是无向图是A-C和C-A都有,然而有向图则只有C-A没有A-C,需要看清方向。
- 在无向图的邻接矩阵中,顶点的度为该顶点所在行或列中非零元素的个数。
- 在有向图的邻接矩阵中,顶点的出度为该顶点所在行中的非零元素的个数,入度为该顶点所在列中的非零元素个数。顶点的度=出度+入度
对于A顶点:无向图的度=3,有向图的度=1+2=3 - 对于带权图,把每条边的权值存入邻接矩阵,如果顶点之间不存在边存入无穷表示
// 利用邻接矩阵存储图
typedef char VertType; // 定义顶点的数据类型
typedef int EdgeType; // 定义边权的数据类型
#define MAXVNUM 100 // 顶点的最大数值
#define INFINITY 65536 // 无穷常量,也可以用边的权值不可能出现的值struct MGraph
{VertType vexs[MAXVNUM]; // 顶点表EdgeType edges[MAXVNUM][MAXVNUM]; // 带权边表,邻接矩阵int vexnum, arcnum; // 顶点数|V|和边数|E|
};
2.2 邻接表-顺序存储+链式存储(数组+链表)
顶点的信息存放在一维数组中,每个顶点的边的信息存放在边链表中。
// 边链表结构体
struct ENode
{int adjvex; // 邻接点域,存储该顶点对应的下标EdgeType info; // 存储权值ENode* next; // 指针域,指向下一个邻接顶点
};
// 顶点结构体
struct VNode
{VertType data; // 数据域,存储顶点信息ENode* first; // 边表头指针
};
// 图的结构体
struct AdjListGraph
{VNode vexs[MAXVNUM]; //顶点数组int vexnum,arcnum; // 顶点数和边数
};
2.3 十字链表-适用于有向图
十字链表就是有两个边链表的邻接表。
2.4 邻接多重表-适用于无向图
1)边链表结点有冗余,无向图中对于A-B之间的边,在A的边链表中有B,在B的边链表中有A,只需要一个就能表达含义了。
2)删除边和顶点操作很麻烦,时间复杂度高。
3. 图的基本操作
EdgeExist(G,v,w)
判断图G中是否存在从顶点v到顶点w的边,(v,w)或<v,w>,如(G,C,D)。
- 邻接矩阵:检查C行D列是否为1。
- 邻接表中:检查C顶点的边链表中是否有顶点D。
AllAdjVex(G,v)
列出图G中与顶点v邻接的边,如(G,C)
对于无向图:
- 邻接矩阵:检查C整(行)列,输出为1对应的顶点
- 邻接表:检查顶点C的边链表,输出顶点。
对于有向图:邻接的边包括出边和入边
- 邻接矩阵:检查C整行,输出为1对应的顶点(出边);检查C整列,输出为1对应的顶点(入边)。
- 邻接表:访问顶点C对应的边链表,输出顶点(出边);依次访问每个顶点(除C自身)的边链表,如果有C,则输出该顶点(入边)。
InsertVex(G,v)
在图G中插入顶点v,此时不需要插入边,只用插入顶点。
DeleteVex(G,v)
从图G中删除顶点v,如(G,C)。删除顶点C。(真删除和伪删除)
对于无向图:
- 邻接矩阵:删除顶点表中的C,后续元素前移;邻接矩阵中删除C对应的行列,并移动元素
- 邻接表:删除顶点表中的C,以及对应的边链表。还要遍历其他顶点,删除边链表中的C
InsertEdge(G,v,w)
在图G中插入一条从顶点v到w的边。如(G,C,D)
无向图
- 邻接矩阵:C行D列和D行C列都需要置为1
- 邻接表:顶点C的边链表中插入新结点D;顶点D的边链表中插入新结点C。
有向图: - 邻接矩阵:C行D列置为1
- 邻接表:顶点C的边链表中插入新结点D
4. 图的遍历
4.1 广度优先搜索(BFS)
图的广度优先搜索类似于树的层次遍历,需要使用一个辅助队列和辅助数组(用于记录已经访问过的数组)来实现
图的遍历可以从任意一个结点开始,假设从顶点2开始。顶点2入队,并查找visited数组中对应的下标是否已经访问,没有置为true。
出队队头元素,并将其邻接点未访问顶点入队,包括5,6,3,1
出队队头元素,并将其邻接点未访问顶点入,5出队后没有入队,6出队后入队7
出队队头元素,并将其邻接点未访问顶点入,3出队后没有元素入队,1出队后入队4
出队队头元素,并将其邻接点未访问顶点入,7出队后没有元素入队,4出队后入队8,9
出队队头元素,8,9。队列为空,遍历完成。
4.2 深度优先搜索(DFS)
图的深度优先搜索与图的先序遍历类似。可以利用递归或者栈的形式实现。具体就不在这里展开了。