图形学基础:二维三维刚体的移动、缩放和旋转矩阵

一、二维

1.1 缩放矩阵

在这里插入图片描述

x,y分别表示在x轴,y轴缩放的倍数

示例:

在这里插入图片描述

1.2 平移矩阵

在这里插入图片描述

x,y分表表示在x轴,y轴上移动的距离

示例:
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1.3 旋转矩阵

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

θ 表示点绕原点逆时针旋转θ°

示例:
点 (2,1) 绕原点旋转90°
在这里插入图片描述

绕任一点旋转?
转为先平移到这个点, 再旋转即可。

1.4 变换顺序

先平移再旋转,得到的变换矩阵是:
在这里插入图片描述
示例:

(2,0) 先平移 (0,2) 再旋转90°应该为: (-2,2)
在这里插入图片描述

如果换成是先旋转再平移则是(0,4):
在这里插入图片描述

二、三维

2.1 缩放矩阵

在这里插入图片描述

x,y,z分别表示点在x,y,z轴缩放的倍数

示例:
点 (2,1,2) 在x,y,z轴上分别缩放x,y,z倍
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2.2 平移矩阵

在这里插入图片描述

示例:
点(2,1,2) 在x,y,z轴上分别移动 x,y,z距离
在这里插入图片描述

2.3 旋转矩阵

在这里插入图片描述

θ 表示点绕过原点的 x, y, z 轴旋转θ°
注意:绕某轴旋转则眼睛看向某轴的负方向,逆时针为正,顺时针为负(和左右手坐标系没关系)。

参考: https://zhuanlan.zhihu.com/p/147282442

示例:

  • 点(2,1,2) 绕过原点的y轴旋转90°,应为:(2, 1, -2)

在这里插入图片描述
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  • 点(1,2,2) 绕过原点的x轴旋转90°,应为:(1,-2,2)
    在这里插入图片描述
  • 点(2,2,1) 绕过原点的z轴旋转90°,应为(-2,2,1)
    在这里插入图片描述

绕任一点旋转?
转为先平移到这个点, 再旋转即可。

2.4 变换顺序(同二维,不再赘述)

三、threejs中的矩阵变换 (Matrix3)

3.1 矩阵存储格式

如果将矩阵的元素存储为数组的话,我们人类易读的是行优先,但three.js采用的是列优先,它们区别如下:
在这里插入图片描述
不过,虽然three.js内部存储是列优先,但在传参时遵循的是行优先,看下面源码:

在这里插入图片描述

3.2 旋转方向的奇怪问题

three.js中使用矩阵旋转的时候有个奇怪的地方,如下:

  • new THREE.Matrix3().makeRotation(Math.PI/2):从0创建一个旋转矩阵,逆时针旋转90°;
  • new THREE.Matrix3().rotate(Math.PI/2):累加旋转, 顺时针旋转90°;

下面是例子:

<script type="module">import * as THREE from 'three';//makeRotation: 逆时针为正var m2 = new THREE.Matrix3().makeRotation(Math.PI/2);var ret2 = new THREE.Vector2(2,0).applyMatrix3(m2);//输出: (2,0) makeRotation(90°): {"x":1.2246467991473532e-16,"y":2}console.log(`(2,0) makeRotation(90°): ${JSON.stringify(ret2)}`)	//rotate是累加: 顺时针为正var m = new THREE.Matrix3().rotate(Math.PI/2);var ret = new THREE.Vector2(2,0).applyMatrix3(m);//输出: (2,0) rotate(90°): {"x":1.2246467991473532e-16,"y":-2}console.log(`(2,0) rotate(90°): ${JSON.stringify(ret)}`)
</script>

3.3 其他示例

<script type="module">import * as THREE from 'three';//先平移后逆时针旋转var m = new THREE.Matrix3().translate(0,2).rotate(-Math.PI/2);var ret = new THREE.Vector2(2,0).applyMatrix3(m);//(2,0) 先平移(0,2)后逆时针旋转90°: {"x":-1.9999999999999998,"y":2}console.log(`(2,0) 先平移(0,2)后逆时针旋转90°: ${JSON.stringify(ret)}`)//先逆时针旋转后平移var m2 = new THREE.Matrix3().rotate(-Math.PI/2).translate(0,2);var ret2 = new THREE.Vector2(2,0).applyMatrix3(m2);//(2,0) 先逆时针旋转90°后平移(0,2): {"x":1.2246467991473532e-16,"y":4}console.log(`(2,0) 先逆时针旋转90°后平移(0,2): ${JSON.stringify(ret2)}`)
</script>

四、c#中的矩阵 (Matrix3x2)

查看的c#矩阵源码地址:《Matrix3x2.Impl.cs》

4.1 矩阵存储格式

没有存储9个矩阵元素,而是6个,如:
在这里插入图片描述
内部存储是用了三个 Vector2 向量存储,参考源码:
在这里插入图片描述

4.2 奇怪的相乘顺序

一般认为的:
在这里插入图片描述

但实际上,c#是右乘,如:

//(2,0) 先逆时针旋转90°, 再平移 (0,2)
var m = Matrix3x2.CreateRotation(MathF.PI / 2) * Matrix3x2.CreateTranslation(0, 2);
//输出 (0,4)
Console.WriteLine(Vector2.Transform(new Vector2(2, 0), m));

但,,,好像结果是对的。。。这就牵扯到另外一个问题:

4.3 奇怪的矩阵转置

一般认为,平移矩阵是:
在这里插入图片描述
但c#构造后是:
在这里插入图片描述
参考源码:
在这里插入图片描述

一般认为,构造旋转矩阵是:
在这里插入图片描述
但c#构造后是:
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参考源码:
在这里插入图片描述

但,恰好是 转置的矩阵右乘 刚好和我们认为的(非转置矩阵左乘)效果一致。

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