一、二叉搜索树的最近公共祖先

1.题目

Leetcode：第 235 题

给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉搜索树:  root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]

示例 1:

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
输出: 6 
解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。

示例 2:

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 4
输出: 2
解释: 节点 2 和节点 4 的最近公共祖先是 2, 因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

说明:

• 所有节点的值都是唯一的。
• p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉搜索树中。

2.解题思路

可以利用二叉树的性质来快速确定最近公共祖先的位置。在二叉树中，节点的左子树包含所有小于当前节点的值，右子树包含所有大于当前节点的值。通过比较当前节点的值与节点 p 和 q 的值，可以决定是向左子树遍历还是向右子树遍历。当找到一个节点，它的值位于 p 和 q 的值之间，或者 p 和 q 之一是当前节点时，就找到了最近公共祖先。

3.实现代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;// 定义一个结构体TreeNode，用于表示二叉树的节点。
struct TreeNode {int val; // 存储节点的值。TreeNode* left; // 指向该节点左子树的指针。TreeNode* right; // 指向该节点右子树的指针。// TreeNode的构造函数，用于创建一个TreeNode实例。// 参数x是节点的值，left和right默认为NULL，表示没有左右子节点。TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};//一、二叉搜索树的最近公共祖先（递归法）
class Solution1 {
public:// 定义一个名为traversal的成员函数，用于递归遍历二叉搜索树。// 参数cur是当前遍历到的二叉树节点指针，p和q是要查找的两个节点指针。TreeNode* traversal(TreeNode* cur, TreeNode* p, TreeNode* q) {if (cur == NULL) return cur; // 如果当前节点为空，递归结束，返回空指针。// 如果当前节点的值大于p和q的值，说明p和q都在当前节点的左子树中。// 递归遍历左子树，并将结果存储在left。if (cur->val > p->val && cur->val > q->val) {TreeNode* left = traversal(cur->left, p, q);// 如果在左子树中找到了p或q，返回left。if (left != NULL) return left;}// 如果当前节点的值小于p和q的值，说明p和q都在当前节点的右子树中。// 递归遍历右子树，并将结果存储在right。if (cur->val < p->val && cur->val < q->val) {TreeNode* right = traversal(cur->right, p, q);// 如果在右子树中找到了p或q，返回right。if (right != NULL) return right;}// 如果当前节点的值在p和q的值之间，或者p和q的值相等，或者p和q中至少有一个是当前节点，// 则当前节点是p和q的最近公共祖先。返回cur。return cur;}// 定义一个名为lowestCommonAncestor的成员函数，用于返回给定的两个节点p和q的最近公共祖先。// 参数root是二叉搜索树的根节点指针，p和q是要查找的两个节点指针。TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {return traversal(root, p, q);// 调用辅助函数traversal，传入根节点root，以及要查找的两个节点p和q。}
};//二、二叉搜索树的最近公共祖先（迭代法）
class Solution2 {
public:// 定义一个名为lowestCommonAncestor的成员函数，接受三个参数：二叉树的根节点root，以及要查找的两个节点p和q。TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {while (root) {// 使用while循环遍历二叉树，直到找到最近公共祖先或到达叶子节点。// 如果当前节点的值大于p和q的值，说明p和q都在当前节点的左子树中。if (root->val > p->val && root->val > q->val) {root = root->left;// 将当前节点更新为左子节点，继续在左子树中查找。}// 如果当前节点的值小于p和q的值，说明p和q都在当前节点的右子树中。else if (root->val < p->val && root->val < q->val) {root = root->right;// 将当前节点更新为右子节点，继续在右子树中查找。}// 如果当前节点的值位于p和q的值之间，或者p和q的值相等，或者p和q中至少有一个是当前节点，// 则当前节点是p和q的最近公共祖先。返回当前节点root。else {return root;}}// 如果遍历完整个二叉树都没有找到满足条件的节点，返回NULL。// 这通常意味着p或q不存在于树中，或者树的结构有误。return NULL;}
};

二、二叉搜索树中的插入操作

1.题目

Leetcode：第 701 题

给定二叉搜索树（BST）的根节点 root 和要插入树中的值 value ，将值插入二叉搜索树。 返回插入后二叉搜索树的根节点。 输入数据 保证 ，新值和原始二叉搜索树中的任意节点值都不同。

注意，可能存在多种有效的插入方式，只要树在插入后仍保持为二叉搜索树即可。 你可以返回 任意有效的结果 。

示例 1：

输入：root = [4,2,7,1,3], val = 5
输出：[4,2,7,1,3,5]
解释：另一个满足题目要求可以通过的树是：

示例 2：

输入：root = [40,20,60,10,30,50,70], val = 25
输出：[40,20,60,10,30,50,70,null,null,25]

示例 3：

输入：root = [4,2,7,1,3,null,null,null,null,null,null], val = 5
输出：[4,2,7,1,3,5]

2.解题思路

通过遍历二叉搜索树来找到新值 val 应该插入的位置。首先检查根节点是否为空，如果为空，则创建一个新节点并返回。如果不为空，则根据val与根节点值的大小关系，
递归地在左子树或右子树中插入新值。在每个递归步骤中，函数都会返回更新后的子树指针，
这样在递归返回时可以正确地更新父节点的左或右子指针。

3.实现代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 定义一个结构体TreeNode，用于表示二叉树的节点。
struct TreeNode {int val; // 存储节点的值。TreeNode* left; // 指向该节点左子树的指针。TreeNode* right; // 指向该节点右子树的指针。// TreeNode的构造函数，用于创建一个TreeNode实例。// 参数x是节点的值，left和right默认为NULL，表示没有左右子节点。TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};// 一、二叉搜索树中的插入操作（递归法）
class Solution1 {
public:// 定义一个名为insertIntoBST的公共成员函数，接受两个参数：二叉搜索树的根节点root和要插入的整数val。TreeNode* insertIntoBST(TreeNode* root, int val) {if (root == NULL) {// 如果根节点为空，创建一个新的TreeNode实例，其值为val，并返回这个新节点作为插入点。TreeNode* node = new TreeNode(val);return node;}// 如果根节点的值大于要插入的值val，递归地在根节点的左子树中插入val。if (root->val > val) {root->left = insertIntoBST(root->left, val);}// 如果根节点的值小于要插入的值val，递归地在根节点的右子树中插入val。if (root->val < val) {root->right = insertIntoBST(root->right, val);}return root; // 在插入操作完成后，返回根节点root，以便维持递归调用的上下文。}
};// 二、二叉搜索树中的插入操作（迭代法）
class Solution2 {
public:// 定义一个名为insertIntoBST的公共成员函数，接受两个参数：二叉搜索树的根节点root和要插入的整数val。TreeNode* insertIntoBST(TreeNode* root, int val) {if (root == NULL) { // 如果根节点为空，创建一个新的TreeNode实例，其值为val，并返回这个新节点作为新的叶子节点。TreeNode* node = new TreeNode(val);return node;}TreeNode* cur = root; // 定义当前遍历到的节点cur为根节点root，并定义父节点parent同样为root。TreeNode* parent = root; // 记录父节点，以便在插入新节点时能够正确链接。// 遍历二叉搜索树，找到新值val应该插入的位置。while (cur != NULL) {parent = cur; // 记录当前节点cur的父节点parent。if (val < cur->val) {cur = cur->left;// 如果新值val小于当前节点的值，移动到当前节点的左子树中继续查找。}else {// 如果新值val大于当前节点的值，移动到当前节点的右子树中继续查找。cur = cur->right;}}TreeNode* node = new TreeNode(val);// 创建一个新的TreeNode节点，其值为val。if (val < parent->val) {// 根据新值val与父节点parent的值的大小关系，将新节点插入到父节点的左子树或右子树中。parent->left = node; // 如果val小于父节点的值，则成为左子节点。}else {parent->right = node; // 如果val大于或等于父节点的值，则成为右子节点。}// 返回根节点root，这里的返回值实际上并不影响最终的树结构，因为函数中已经通过递归更新了所有父节点的引用。return root;}
};

三、删除二叉搜索树中的节点

1.题目

Leetcode：第 450题

给定一个二叉搜索树的根节点 root 和一个值 key，删除二叉搜索树中的 key 对应的节点，并保证二叉搜索树的性质不变。返回二叉搜索树（有可能被更新）的根节点的引用。

一般来说，删除节点可分为两个步骤：

1. 首先找到需要删除的节点；
2. 如果找到了，删除它。

示例 1:

输入：root = [5,3,6,2,4,null,7], key = 3
输出：[5,4,6,2,null,null,7]
解释：给定需要删除的节点值是 3，所以我们首先找到 3 这个节点，然后删除它。
一个正确的答案是 [5,4,6,2,null,null,7], 如下图所示。
另一个正确答案是 [5,2,6,null,4,null,7]。

示例 2:

输入: root = [5,3,6,2,4,null,7], key = 0
输出: [5,3,6,2,4,null,7]
解释: 二叉树不包含值为 0 的节点

示例 3:

输入: root = [], key = 0
输出: []

2.解题思路

通过遍历二叉搜索树来找到要删除的节点，并根据不同的情况（节点是叶子节点、只有左孩子、只有右孩子、左右孩子都有）来删除节点并维护树的结构。在删除节点时，需要注意释放原节点的内存，以避免内存泄漏。此外，当删除节点有两个孩子时，需要找到其右子树中最左边的节点（后继节点），将其左子树连接到当前节点的左子树上，然后删除原节点。

3.实现代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;// 定义一个结构体TreeNode，用于表示二叉树的节点。
struct TreeNode {int val; // 存储节点的值。TreeNode* left; // 指向该节点左子树的指针。TreeNode* right; // 指向该节点右子树的指针。// TreeNode的构造函数，用于创建一个TreeNode实例。// 参数x是节点的值，left和right默认为NULL，表示没有左右子节点。TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};// 一、删除二叉搜索树中的节点（递归法）
class Solution {
public:// 定义一个名为deleteNode的公共成员函数，接受两个参数：二叉搜索树的根节点root和要删除的键值key。TreeNode* deleteNode(TreeNode* root, int key) {if (root == nullptr) return root; // 如果节点为空，直接返回空指针。// 如果当前节点的值等于要删除的键值key。if (root->val == key) {// 如果当前节点是叶子节点（没有左右孩子），删除节点并释放内存。if (root->left == nullptr && root->right == nullptr) {delete root; // 释放当前节点的内存return nullptr; // 返回空指针，表示当前节点已被删除}// 如果当前节点只有右孩子，删除节点并用右孩子补位。else if (root->left == nullptr) {auto retNode = root->right; // 保存右孩子的指针delete root; // 释放当前节点的内存return retNode; // 返回右孩子的指针，右孩子成为新的根节点}// 如果当前节点只有左孩子，删除节点并用左孩子补位。else if (root->right == nullptr) {auto retNode = root->left; // 保存左孩子的指针delete root; // 释放当前节点的内存return retNode; // 返回左孩子的指针，左孩子成为新的根节点}// 如果当前节点左右孩子都不为空，找到右子树中最左边的节点（即当前节点的后继）。else {TreeNode* cur = root->right; // 从右子树开始查找while (cur->left != nullptr) { // 遍历到最左边的节点cur = cur->left;}cur->left = root->left;// 将后继节点的左子树连接到当前节点的左子树上。TreeNode* tmp = root; // 保存当前节点的指针，以便释放内存。root = root->right;  // 将当前节点的右子树提升为新的根节点。delete tmp;// 释放原当前节点的内存。return root; // 返回新的根节点}}// 如果当前节点的值大于要删除的键值key，递归地在左子树中删除。if (root->val > key) root->left = deleteNode(root->left, key);// 如果当前节点的值小于要删除的键值key，递归地在右子树中删除。if (root->val < key) root->right = deleteNode(root->right, key);return root;// 返回当前节点，以便上层递归调用可以使用修改后的树结构。}
};// 二、删除二叉搜索树中的节点（迭代法）
class Solution {
private:// 定义一个名为deleteOneNode的私有辅助函数，用于删除一个特定的节点（目标节点）。// 目标节点可以有左右孩子，或者没有右孩子但有左孩子。// 如果目标节点没有右孩子，直接返回其左孩子（如果有的话）。// 如果目标节点有右孩子，找到右子树中最左边的节点（即目标节点的后继），// 将目标节点的左子树连接到后继节点的左孩子位置，然后返回后继节点作为新的根节点。TreeNode* deleteOneNode(TreeNode* target) {if (target == nullptr) return target; // 如果目标节点为空，直接返回。if (target->right == nullptr) return target->left; // 如果目标节点没有右孩子，返回其左孩子。TreeNode* cur = target->right; // 从目标节点的右子树开始查找后继节点。while (cur->left) { // 遍历到右子树的最左边节点。cur = cur->left;}cur->left = target->left; // 将目标节点的左子树连接到后继节点的左孩子位置。return target->right; // 返回后继节点作为新的根节点。}public:// 定义一个名为deleteNode的公共成员函数，用于从二叉搜索树中删除一个键值为key的节点。TreeNode* deleteNode(TreeNode* root, int key) {if (root == nullptr) return root; // 如果根节点为空，直接返回。TreeNode* cur = root; // 定义当前节点cur为根节点。TreeNode* pre = nullptr; // 定义pre为nullptr，用来记录cur的父节点。// 遍历二叉搜索树，查找键值为key的节点。while (cur) {if (cur->val == key) break; // 找到目标节点，退出循环。pre = cur; // 更新pre为当前节点的父节点。if (cur->val > key) cur = cur->left; // 如果当前节点的值大于key，向左子树遍历。else cur = cur->right; // 如果当前节点的值小于key，向右子树遍历。}// 如果找到了要删除的节点。if (pre == nullptr) { // 如果要删除的节点是根节点。return deleteOneNode(cur); // 删除节点并返回新的根节点。}// 如果要删除的节点是pre的左孩子。if (pre->left && pre->left->val == key) {pre->left = deleteOneNode(cur); // 删除节点并更新pre的左孩子。}// 如果要删除的节点是pre的右孩子。if (pre->right && pre->right->val == key) {pre->right = deleteOneNode(cur); // 删除节点并更新pre的右孩子。}return root; // 返回根节点，此时根节点可能已经被更新。}
};// 三、删除二叉搜索树中的节点（一般通用法）
class Solution {
public:// 定义一个名为deleteNode的公共成员函数，接受两个参数：二叉搜索树的根节点root和要删除的键值key。TreeNode* deleteNode(TreeNode* root, int key) {if (root == nullptr) return root;// 如果根节点为空，直接返回空指针。if (root->val == key) {// 如果根节点的值等于要删除的键值key。// 如果根节点（要删除的节点）有右孩子，则需要进一步处理。if (root->right == nullptr) { // 如果根节点只有左孩子或没有孩子。return root->left; // 删除根节点，返回其左孩子（如果有的话）。}// 找到根节点右子树中的后继节点，即最左边的节点。TreeNode* cur = root->right;while (cur->left) {cur = cur->left;}// 将后继节点的值交换到根节点（要删除的节点）的值。swap(root->val, cur->val); // 后继节点成为新的根节点，因为它具有相同的键值。}// 递归地在左子树和右子树中查找并删除键值为key的节点。root->left = deleteNode(root->left, key);root->right = deleteNode(root->right, key);return root;// 返回根节点，此时根节点可能已经被更新。}
};

ps：以上皆是本人在探索算法旅途中的浅薄见解，诚挚地希望得到各位的宝贵意见与悉心指导，若有不足或谬误之处，还请多多指教。