理论部分

矩形分布（均匀分布），是指在某一区间内，随机变量取任何值的概率都是相同的。这种分布的概率密度函数在一个特定的区间内是一个常数，因此其图形呈现出一个矩形的形状，故得名为“矩形分布”。在概率论和统计学中，这是一种非常重要的概率分布方式，具有广泛的应用。在实际应用中，当某一随机变量在一区间内取值的可能性没有偏向时，就可以采用矩形分布（均匀分布）来描述这种随机性，比如实验室技术报告中计算B类不确定度。

矩形分布定义及PDF函数
当$X_i$独立时，可根据一系列的测量值分析，为$X_i$设定$PDFgx(\xi )$,当某些测量值$X_i$相互独立时，对它们的每一个设定PDF,而其余的$X_i$设定联合PDF。

某量X的可获信息
对于某量X，仅知其下限为$a$,上限为$b$,$a<b$

X所设定的分布
矩形分布：$R(a,b)$

矩形分布的PDF函数
$$gx(\xi )=\{\begin{array}{l}\frac{1}{b-1},a\le \xi \le b\\ 0,其他\end{array}$$

使用R语言计算并验证

矩形分布图形绘制

library(ggplot2)  a <- 0  # 矩形分布下限  
b <- 1  # 矩形分布上限
height <- 1 / (b - a)  # 矩形分布高度，即1除以区间的宽度  x <- seq(a - 0.2, b + 0.2, length.out = 300)  # 扩展x范围以显示分布之外的区域  
# y值表示矩形分布的概率密度函数  
y <- ifelse(x >= a & x <= b, height, 0) 
df <- data.frame(x = x, y = y)  ggplot(df, aes(x = x, y = y)) +  geom_line(colour = "blue", linewidth = 1.0) +  geom_vline(xintercept = c(a, b), linetype = 2, colour = "gray") +  labs(x = "x", y = "Density", title = "Uniform Distribution PDF") +  theme_minimal()

使用渐近单样本Kolmogorov-Smirnov检验检查数据是否为均匀分布
使用 runif() 函数生成均匀分布随机数后进行检验

set.seed(123) # 设置随机种子 
data <- runif(100, min = 0, max = 1) # 生成100个[0,1]区间内的均匀分布随机数  
# 使用Kolmogorov-Smirnov检验检查数据是否均匀分布  
# 比较数据与标准的均匀分布U(0,1)  
ks_test_result <- ks.test(data, "punif", 0, 1)  
print(ks_test_result)

输出

	Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov testdata:  data
D = 0.052204, p-value = 0.9481
alternative hypothesis: two-sided

使用 rnorm() 函数生成正态分布随机数后进行检验

set.seed(123) # 设置随机种子 
data <- rnorm(1000, mean = 0, sd = 1) # 生成1000个均值为0、标准差为1的正态分布随机数  
# 使用Kolmogorov-Smirnov检验检查数据是否均匀分布  
# 比较数据与标准的均匀分布U(0,1)  
ks_test_result <- ks.test(data, "punif", 0, 1)  
print(ks_test_result)

输出

	Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov testdata:  data
D = 0.49514, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: two-sided

以上的备择假设（拒绝原假设时接受的假设）使用的是双侧检验，意味着不考虑数据偏离原假设的方向，只关心偏离的大小。
通过观察两组输出的D值(两者之间的差异度)和P值(观察到的统计量出现概率，假设原假设是真实的。如果p值大于显著性水平（需查表），则不能拒绝原假设。)，即不能拒绝数据来自矩形分布的原假设，因为p值远大于常用的显著性水平，而第二组输出显示p值极小，可以拒绝数据来自矩形分布的原假设。

使用Q_Q图验证数据是否属于矩形分布
使用正态分布数据演示

set.seed(123)
data <- rnorm(1000, mean = 0, sd = 1)  # 生成1000个均值为0、标准差为1的正态分布随机数a <- min(data)
b<- max(data)# 生成理论上的均匀分布分位数  
uniform_quantiles <- qunif(ppoints(length(data)), a, b)  
# 绘制QQ图  
qqnorm(data)  
qqline(uniform_quantiles, col="red")  
# 如果数据点大致沿着红线分布，则可能服从均匀分布

输出图像（可明显看出差别）

使用矩形分布数据演示（服从状态明显）

set.seed(123)
data <- runif(1000, min = 0.34, max = 0.46) # 生成1000个矩形分布随机数据 # 定义均匀分布的上限a和下限b 
a <- 0.34  
b <- 0.46  # 生成理论上的均匀分布分位数  
uniform_quantiles <- qunif(ppoints(length(data)), a, b)  
# 绘制QQ图  
qqnorm(data)  
qqline(uniform_quantiles, col="red")  
# 如果数据点大致沿着红线分布，则可能服从均匀分布