Bounding Volumes

包围盒：用一个简单形状把物体包围起来，如果物体连包围盒都无法碰撞，一定无法碰撞包围盒内的物体

将长方体理解成三个不同对面形成的交集，一定是在x，y，z轴上的范围。没有旋转

Ray Intersection with Axis-Aligned Box

光线和包围盒求交
给定任何一根光线，可以求出光线何时和无限大的两个面有交点
之后看水平的对面，求两个面的交点
即对任何一个对面，可以求出进入的时间和出去的时间。
求交即可求出，光线何时进入盒子，何时出去盒子

对于3维空间，有3组对面，各计算一次光线进入对面的最小，最大时间·。求出最大的进入时间和最小的离开时间。如果进入时间小于离开时间，说明这段时间光线在盒子里

光线是射线不是直线，如果光线离开盒子时间小于0，说明盒子是在光线背后
当离开的时间是正的，进入盒子的时间是负的，说明光线起点在盒子里
当且仅当进入时间小于离开时间，且离开时间大于0，则光线与包围盒有交点

之所以用横平竖直的包围盒，因为光线与和xyz轴垂直的面求交比较方便
如上图，当对面与x轴垂直时，可以直接求光线在x轴方向上的传播

Uniform Spatial Partitions (Grids)

做光线追踪前的预处理

先找出一个场景，把场景的包围盒找出

把盒子分成一堆格子

判定哪些格子里可能有物体，将与物体表面相交的格子标记起来

做完预处理后可以开始进行光线追踪。
这里认为光线和格子求交是非常快的，和实际物体求交是非常慢的。
可以找到光线走的过程中相交的格子，如果格子中有物体，则光线可能与物体相交

只需要做若干次光线与格子的求交，来避免与场景所有物体进行求交

光线会打到哪个格子，最简单的思路可以是类似光栅化一条线段

极端的情况，将场景划分成1x1的格子，则没有加速

另一个极端是格子太密，则效率太低

启发式的算法：格子的数量应该是一个常数(27)乘以物体的数量

对于场景里各个地方都有几何物体，分布较均匀的情况下格子的效果比较好

当场景中物体分布很不均匀，有很多空的情况下，不适合格子的方式

Spatial Partitions/空间划分

八叉树：（2维空间下是四叉树），把空间切成四块，再把子块切成四块，知道其中有三块不和任何物体相交，则不在继续切。或者一块里有足够少数量的物体
kd树：和八叉树几乎一样，只不过每次会找一个轴，沿轴划分，保持了二叉树的性质KD-Tree
BSP树：对空间二分，每次选一个方向，把节点砍开，与kd树的区别是不是横平竖直的砍开。在维度高时，越来越不好计算



只需要在叶子节点实际存储和这些格子相交的几何形体

按x，y，z依次划分，选取划分位置，循环子节点

场景有一光线

判断和a是否有交点，有交点说明需要考虑是否和子节点有交点

如果有交点的是叶子节点，则和叶子节点里的所有物体求交

两个子节点都要判断，可能都有交点，所以B也判断求交




依次查询，直到求交到所有相交的叶子节点。类似二分查找

很难判断这个物体和包围盒是否相交，即格子和哪些物体相交。对于kd-tree，有个明确的问题。很难判断一个三角形和立方体有交集，如当一个三角形是插进这个盒子时，这个三角形的三个顶点都不在盒子里，但是和盒子相交。
近十年逐渐很少使用kd树来处理，就因为很难判断一个三角形和AABB是否有交点。另外如上图3，4，5都存储了一个物体。但是人们希望一个物体只在一个叶子节点里，所以kd-tree并不直观。

Object Partitions & Bounding Volume Hierarchy (BVH)

不从空间划分，通过物体来划分，这张划分形成的结构称为BVH


把一个盒子的所有三角形组织成两部分，再分别重新求包围盒

递归划分子节点

直到叶子节点有足够少的物体

kd-tree是直接把空间两份，bvh是把物体分成两堆，再重新求包围盒。
一个物体只可能在一个盒子里。
但bvh对空间的划分，并没有严格划分开，即不同的Bounding box有可能相交

选择维度：可以，x，y，z循环。也可以每次沿着最长的轴划分
排序，取中间位置物体划分。保证树接近平衡。
把所有的三角形取重心，通过重心进行排序。

如果只是找中位数的话，其实不需要排序,排序复杂度是$n\log n$。
给n个无序的数，找第i大的数，可以在O(n)时间内解决，称为快速选择算法，只对划分两边的某一边进行操作

中间节点只存包围盒与子节点指针，叶子节点存储实际物体

求交，类似kd-tree

总结：kd-tree划分的是空间，空间与空间之间不会有交集，但是物体可能在两个空间。bvh划分的是物体，包围盒间可能有相交，不需要处理物体和包围盒是否相交。