前言
作者：小蜗牛向前冲
目录
一、二分查找
二、二分的朴素模板
1、例题1
2、朴素模板
三、二分的万能模版
1、例题2
2、查找区间左端点
3、查找区间右端点
4、万能模板
5、题目练习
一、二分查找
二分查找是一种在有序数组中查找目标值的算法。它通过反复将待查找区间分成两部分并检查中间元素来进行查找，以缩小搜索范围，直到找到目标值或确定目标值不存在为止。这种算法的时间复杂度为 O(log n)，其中 n 是数组的元素个数。
对于二分查找，我们简单的理解就是通过二段性，不断的排除不属于目标值的的算法。
而为什么我们不三分，四分呢？
尽管三分、四分等算法在某些特定情况下可能会有所优势，但由于二分查找已经被广泛证明为高效且简单的解决方案，因此通常情况下选择二分更为合适。（这里和数学期望有关就不和大家证明了）
二分算法看起来非常简单，但是他的细节是非常多，而且查看能力非常强大。
比如当我们要查找2^32（42亿多）,如果我们要暴力查找就要查找42亿多次，但是二次就只要查找32次。
为了解决二分细节太多问题(特别是在处理复杂问题，对边界情况的处理）
二、二分的朴素模板
1、例题1
这里我们直接用力扣上的一道题目来引出：
给定一个
n个元素有序的（升序）整型数组nums和一个目标值target，写一个函数搜索nums中的target，如果目标值存在返回下标，否则返回-1。
示例 1:输入:nums= [-1,0,3,5,9,12],target= 9 输出: 4 解释: 9 出现在nums中并且下标为 4示例 2:
输入:nums= [-1,0,3,5,9,12],target= 2 输出: -1 解释: 2 不存在nums中因此返回 -1提示：
- 你可以假设
nums中的所有元素是不重复的。n将在[1, 10000]之间。nums的每个元素都将在[-9999, 9999]之间。
这里是非常经典的二分运用，在一个有序的数组中（有序就说明有二段性） ，让我们排查目标值target,暴力就不提了，那二分是如何解题的。
这时候结果区域就只剩5、9、12,然后继续二分排除。
这里就不在细说，直接看代码。
class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target){int left = 0;int right = nums.size()-1;while(left<=right){int mid =(left+right)/2;if(nums[mid]<target){left = mid+1;}else if(nums[mid]>target){right = mid-1;}else{return mid;}}return -1;}
};通过这道题目我们来总结一下朴素模板。
2、朴素模板
这里简单说明一下，x=nums[mid],t为目标值。
这里为了保证left<=right
- 当x < t----->left =mid+1------[left,right]
- 当x > t----->right =mid-1------[left,right]
- 当x == t----->返回结果
从上面我们可以归纳出二分的朴素模版：
while (left <= right){int mid = left + (right-left)/2;//防止溢出if (....){left = mid + 1;}else if (.....){right = mid - 1;}else{.....;}}细节处理
1、循环结束的条件 left<right可不可以
这里是一定不可以的， 这里会漏掉，当left和right都指向同一个元素的情况，大家注意在[left,right]区间的值都是没有被排查的，所以条件一定是lef<=right。
2、在计算mid的时候有时候我们会看到二种写法：
- int mid = left + (right-left)/2;
- int mid = left + (right-left+1)/2;
对于二者的区别其实对奇数个元素是没有区别的，因为中间值一定是唯一的。
但是对于偶数个元素的，中间值mid就有区别了：
可以看到mid 是第一种求法的时候取到是方框中左边的值，第二中求法求到是右边的值。
对于这中朴素模板来说是没有区别的，但是对后面的万能模版来说却非常重要。
三、二分的万能模版
1、例题2
给你一个按照非递减顺序排列的整数数组
nums，和一个目标值target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。如果数组中不存在目标值
target，返回[-1, -1]。你必须设计并实现时间复杂度为
O(log n)的算法解决此问题。示例 1：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8 输出：[3,4]示例 2：
输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6 输出：[-1,-1]示例 3：
输入：nums = [], target = 0 输出：[-1,-1]提示：
0 <= nums.length <= 105-109 <= nums[i] <= 109nums是一个非递减数组-109 <= target <= 109
对于这道例题，如果我们继续用前面的朴素二分算法模本版，就要处理许多边界问题，那么我们应该如何求简化我们的思路。
2、查找区间左端点
为了解决上面朴素二分在求上面情况，可能会出现退化为暴力的情况，这里我们换一个思路，利用二分求我们要求区间的左端点。
这里我们就分为了上面二种情况，但是仅仅到这里我们就可以求编写代码了吗？我觉的是远远不够，因为对于二分来说，最复制的是其中的边界问题，没有处理好就会出现一系列的死循环问题。
细节处理
循环条件：
- left<right?
- left<=right?
这里的循环条件是1还是2,这里我们先说结论，一定不能取等号(所以选择情况1)。为什么？
对于情况1：
当我们要查看的是有结果的，也就是说在[left，right]区间内，存在我们要的结果(左区间端点)
对于left,一直是想要跳出1这个区域的，但是对于right就会在2区域内活动，当left==right=r=et,就是等于了结果，也就没有必要在进入循环(如果进行就会死循环，因为mid=right)。
对于情况2：
在想x>t,那么right就要一直向左移动，最终就会和left相遇，这里就只要判断当前值是否和t相等即可，没有必要进入循环（如果进入就会出现死循环）
对于情况3：
在想x<t,那么left就要一直向右移动，最终就会和right相遇，这里就只要判断当前值是否和t相等即可，没有必要进入循环（如果进入就会出现死循环）
综合上所述：
- left==right的时候就是最终结果，没有必要进入循环判断
- 如果判断就会死循环
2、求mid的操作
- int mid = left + (right-left)/2;
- int mid = left + (right-left+1)/2;
这里也是选择1 ,为什么？
当最后只有二个值的时候，如果我们选择2求mid，可以想一下，mid就会指选择区域右边(前面已经解释过了)，当是如果是x<=t的情况时候，这时候就会出现right=mid，[left,right]区间没有动而出现死循环。
而现在1就不会出现这种情况
代码实现：
class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target){int left = 0;int right = nums.size()-1;vector<int> result = {-1, -1};if(nums.size()==0) return result;//处理边界情况while(left<right){int mid =left+(right-left)/2;if(nums[mid]<target){left = mid+1;}else{right = mid;}}//得到左区间的的下标,这里出来一定是left==rightint begin=-1,end=-1;if(nums[left]==target){begin = left;int i = 0;//从left位置开始找右区间for(i = left;i<nums.size();i++){if(nums[i]!=target)break;}end = i-1;result[0]=begin;result[1]=end;}return result;}
};3、查找区间右端点
对于找区间右端点，和找左端点的本质上是一样的，只是变了一种形式，下面我们快速了解一下：
这里不同点：就是区间划分不一样了，因为是找右端点，所以当x<=t时候，left在移动的时候，不能超过区间，所以最多到left=mid这的区间是，当x>t的时候，其实是和朴素二分哪里right的移动是一样的。
对于查找区间右端点我们仍要关注二个细节：
- 循环结束条件是：left<rigt
- mid的求法是:left+(right-left+1)
这里至于是为什么，可以参考区间左端点细节的解释，这里就不过多解释。
代码实现：
class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {vector<int> result{-1,-1};int left=0,right = nums.size()-1;//处理特殊情况if(nums.size()==0) return result;while(left<right){int mid= left+(right-left+1)/2;if(nums[mid]<=target) left=mid;else right = mid-1;}//到这里肯定是left==rightint begin =-1,end=-1,i=0;if(nums[left]==target){end = left;//在去找左端点for(i = left;i>=0;i--){if(nums[i]!=target)break;}begin = i+1;}result[0]=begin;result[1]=end;return result;}
};4、万能模板
根据对二分朴素模本进一步升级，我们可以写出二分的万能模版：
但是核心其实是前面的分析过程而这个模版只是一个思路，大家借鉴就好，还是要理解二分是在具有二段性的情况使用的。
5、题目练习
- 搜索插⼊位置（easy）
- x 的平⽅根（easy）
- ⼭峰数组的峰顶（easy）
- 0〜n-1 中缺失的数字（easy）
- 寻找峰值（medium）
- 搜索旋转排序数组中的最⼩值（medium）
