生活中的数学 --- 等额本息贷款和等额本金贷款的月供应该怎么算?

等额本息贷款和等额本金贷款的月供应该怎么算?

        从一个例子开始,假设我要从银行贷款36万(即,本金),银行给出的贷款年利率是12%(月利率为年利率除以12),贷款半年(6个月),按月还款,分6期还完。 问分别按照等额本息等额本金的贷款方式去贷款,每个月应该还多少钱?

 等额本息的计算结果:

 等额本金的计算结果:

计算器给出的结果共分5列,其中:

第一列表示期数,本例中存款半年,共分6期。

第二列表示每月所还贷款中本金所占的部分,本金就是贷款的原始资金。

第三列表示每月所还贷款中利息所占的部分,利息就是你找银行借钱要付给银行的酬劳,毕竟银行不可能白白借给你钱。你除了要还给银行最开始借的那部分钱,即,本金,还要再多给银行一部分额外的钱,即,利息。

第四列为每月所还的贷款,他等于第二列(本金)和第三列(利息)的和。

第五列是你每月还欠银行的钱。可见,不管是采用那种贷款的方式去还贷,还到第六个月的时候欠银行的钱都是0了。


什么是等额本息,为什么叫等额本息?

        注意看图中我用红色方框框出来的部分,这一列中每个月的还款金额是相同的。这是等额本息贷款的特点,也就是每个月连本带利息还给银行的钱一样多。


为什么叫等额本金?

        与等额本息不同的是,等额本金每月还款的金额是变动了,第一个月最高,最后一个月最少。但每个月的还款中,所还本金的数目相同(图中红色方框所框出来的部分),故而,这种还款的计息方式被称为等额本金。


等额本金每个月的月供是如何计算的?

等额本金还贷的本金和利息是分开单独计算的。

1,就本金而言,因为等额本金每个月的所还得金额相同。因此,我们先计算每个月所要还得本金:

36万/6=6万

得出,每月还款中所还本金得数额为6万。这和计算器得到得结果相同。

2,利息

第一个月,我总共欠银行36万,月利率为12%/12=1%。因此,第一个月我要付给银行的利息是:

36万*1%=3600元

第二月,因为我第一个月还了6万的本金,因此,我总共欠银行的钱变成了30万。第二个月我要付给银行的利息是基于当前的欠款总额计算的,即:

30万*1%=3000元

第三月,我第二个月又还了6万的本金,因此,我总共欠银行的钱变成了24万。我要付给银行的利息也是基于当前的欠款总额计算的,即:

24万*1%=2400元

......

依此类推,到了第六个月,我前面已经还了30万本金,这时我只欠银行6万了。这时我需要还的利息是:

6万*1%=600元

总共的利息是:

3600+3000+2400+1800+1200+600=(3600+600)/2*6= 12600元

连本带利整个还款的总额为总本金加总利息:

360000+ 12600=372600元

这和贷款计算器给出的结果是吻合的: 


 等额本息每个月的月供是如何计算的?

        等额本息的计算要基于等额本息的还款特性,也就是每个月所还欠款是等额的。但一开始我们是不知道具体数额的,这和等额本金不同。

设:

        每月还款的金额(本金+利息)为A。截止到每个月欠款的总额为a_{0},a_{1},...a_{6}

则:

        第一个月欠款总额为,贷款总本金。因为,到目前为止,既没有开始还款,也没有产生任何借贷利息。

 a_{0}=360000

        从第二个月开始还款并开始按月计算贷款利息。欠款总额为,第一个月的欠款总额加第一个月的利息,再减去第一个月的还款。

a_{1}=a_{0}*(1+0.01)-A

        第三个月欠款总额为,第二个月的欠款总额加第二个月的利息,再减去第二个月的还款。

 a_{2}=a_{1}*(1+0.01)-A

 ......

        依此类推,第六个月的欠款总额为

a_{6}=a_{5}*(1+0.01)-A=0

且,第六个月正好把欠款还完,因此,a_{6}=0 。

逐一回代方程中变量得到:

a_{6}=a_{5}*(1+0.01)-A=(a_{4}*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A

=(((a_{3}*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A

=((((a_{2}*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A

=(((((a_{1}*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A

=((((((a_{0}*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A)*(1+0.01)-A

=a_{0}*(1+0.01)^{6}-A*(1+0.01)^{5}-A*(1+0.01)^{4}-A*(1+0.01)^{3}-A*(1+0.01)^{2}-A*(1+0.01)^{1}-A

把上式重新排列一下,得到:

=a_{0}*(1+0.01)^{6}-(A+A*(1+0.01)^{1}+A*(1+0.01)^{2}+A*(1+0.01)^{3}+A*(1+0.01)^{4}+A*(1+0.01)^{5})

括号中是一个几何级数(geometric series),也被称之为等比数列。根据等比数列的求和公式,首项,公比,项数分别为:

a=A,r=1+0.01,n=6

代入求和公式:

\frac{a*(1-r^{n})}{1-r}=\frac{A*(1-(1+0.01)^{6})}{1-1-0.01}=\frac{A*(1-(1+0.01)^{6})}{-0.01}

把这个结果回代到方程中的后半部分:

a_{6}=a_{0}*(1+0.01)^{6}+\frac{A*(1-(1+0.01)^{6})}{0.01}

 又因为a_{6}=0,得到:

a_{0}*(1+0.01)^{6}+\frac{A*(1-(1+0.01)^{6})}{0.01}=0

\Rightarrow a_{0}*(1+0.01)^{6}=\frac{A*((1+0.01)^{6}-1)}{0.01}

 \Rightarrow A=\frac{a_{0}*(1+0.01)^{6}*0.01}{(1+0.01)^{6}-1}

 最后代入本金a_{0}=360000,得到:

 A=\frac{360000*(1+0.01)^{6}*0.01}{(1+0.01)^{6}-1}\approx 62117.41

 连本带利的还款的总额为,月供乘以总的还款月数:

62117.41*6=372704.46元

所还总利息为,还款总额减去本金:

 372704.46-360000=12704.46

 这和贷款计算器给出的结果是吻合的,需要注意的是等额本息所支付的利息要略高于等额本金的利息

最后,为了便于计算,我们给出等额本息贷款方式计算月供的通式 :

A=\frac{P*(1+r_{month})^{n}*r_{month}}{(1+r_{month})^{n}-1}

其中:

1,P表示本金,principal。 

2,r_{month},表示月利率,等于年利率除以12。例如,在本例中为0.12/12=0.01。

3,n表示贷款周期,如果按照月利率算就等于贷款的总年数乘以12。例如,在本例中就是0.5(半年)*12。


为什么会有房奴的说法?

         在上面的例子中,贷款金额不算高,且贷款时间很短(虽然例子中的利息确实挺高的)。但如果你要是选择在北上广买一套房,且按照贷款30年来算,还款时贷款人所支付的总利息会是多少呢?

比如说,我们付完首付后,需要向银行借的钱分别是100万,500万或1000万,统一按照贷款30年,贷款年利率为4.5%算。

贷款100万:

贷款100万,不论是用那种方式还款,平均下来要付70多万的利息,且等额本息要比等额本金多还大概15万。

贷款500万:

贷款500万,平均下来要付350多万的利息,且等额本息要比等额本金多还大概74万。

贷款1000万:

贷款1000万,平均下来要付700多万的利息,且等额本息要比等额本金多还大概150万。

        这样看来,你如果你贷款的金额越大,切贷款30年(即,360个月)的话,你要还的利息基本上都已经接近是大半套房子的钱了! 这就是为什么说有些买房的人会说自己是房奴,毕竟买个房子要多付那么多的利息钱,还款的周期还特别长。


 (全文完)

作者 --- 松下J27 

格言摘抄:

真实是一切的开始!

 参考文献(鸣谢):

1,https://www.youtube.com/watch?v=T6FBfNpiBYw

2,贷款计算器 - 首页 - 广发银行 

(配图与本文无关) 

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