C++中高阶数据结构(AVL树的原理讲解)

AVL树

AVL树的定义

avl本质是搜索树,是高度平衡二叉搜索树.特点是:任何树的左右子树的高度差不超过1.最大的高度差值最大也只能是1,也称之为平衡因子,

平衡因子就是右子树减去左子树的值,这个值的绝对值的最大值只能是1.这个平衡因子不是必须的,只是一种控制方式,方便我们更便捷的控制树.

节点的定义

struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorpair<K, V> _kv;AVLTreeNode(const pair<K,V> kv): _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv){}
};

向AVL树插入节点

  • 先按着搜索树的规则插入节点
  • 接着利用平衡因子来观测该树是否还是AVL树
    • 新插入的节点可能会影响该节点的部分祖先的平衡因子的值.
    • 更新规则:在c的左边新增,那么p->bf–,在c的右边新增,那么p->bf++,那么是否还会继续影响祖先呢?取决于p的高度是否变化.
    • 更新之后:父亲的 平衡因子如果是0的话,那么p所在的子树的高度不变不会影响爷爷.(如果p的平衡因子更新之后是0,就说明过更新之前是1或者是-1,说明是在矮的那一边插入了节点,p的高度不变,不会影响爷爷.),此时更新结束
    • 更新之后p的平衡因子是1或者是-1,那么p所在的子树的高度变了.会影响爷爷,说明更新之前p->bf是0,在p的有一边插入之后,p的高度变化了,就会影响爷爷.
    • 更新之后p的平衡因子成了2或者是-2,此时p所在子树就不是AVL树了,那么就需要进行旋转处理了.
    • 最后c成了根节点之后,那么就是更新条件结束了
  • 三种结束条件:
    • 更新到root结束,p->bf==0结束,旋转让parent所在子树的高度回到了插入之前,不会对上层的bf有影响,结束.

代码实现:

bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent){if (cur == parent->_left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = cur->_parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 旋转处理if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else{RotateRL(parent);}break;}else{// 插入之前AVL树就有问题assert(false);}}return true;}

AVL中的旋转处理

根据插入数据的不同情况可以分为四种情况的

左单旋

当碰到如下图的情况:(红色的是插入节点之后节点对应的平衡因子的值,红色的方块代表插入了一个节点)

当c的右边增加了节点导致了p的平衡因子变成了2之后,此时将subR的左子树连接到parent的右子树上,紧接着将整个parent为根,a为左子树,b为右子树的整棵树连接到subR的左边.此时再计算平衡因子,发现都成了0,整棵树就满足了avl树的规则.
在这里插入图片描述

这里subR在插入节点之前,b子树和c子树的高度一定是相同的(高度也可以是0),只有如此,subR的节点的平衡因子才是0,假如b子树和c子树的高度不同,那么subR的平衡因子是值可能是1或者是-1,此时在subR的右边插入节点,subR节点的平衡因子可能会变成0或者是2,若变成0,avl树的更新就结束了,根本就不需要调整,若变成了2,那么需要调整的树就是subR这颗树,而不是parent这个树.

同理,a子树的节点的高度也一定是h

  • 如果a子树的高度是h+1,那么parent的平衡因子就是0了,此时无论是在parent的左边还是右边插入元素,都无法使parent的平衡因子更新成2或者是-2
  • 如果a子树的高度使h-1,那么此时这颗树根本就不是AVL树了,说明在新节点插入之前就不是AVL树

代码实现:

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_left;Node* subRL = subR->_right;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_right = subRL;if(subRL) // subRL的高度可能是0subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;// 假如插入节点之前parent就是整棵树的根if(ppnode == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if(ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}parent->_bf =0;subR-> _bf = 0;
}

右单旋

当遇到如下图的情况时:(红色是更新之后的平衡因子的值):

新节点插入到较高左子树的左侧,就使用右单旋.因为此时的树看上去就是整个左侧高,右侧低的形式

右单旋的方法:将subL的b这个右子树连接到parent的左边,紧接着,以parent为根,b为左子树,c为右子树的整棵树连接到subL的右边.

在这里插入图片描述

代码实现:

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* grandParent = parent->_parent;parent->_left = subLR;// 同理,subLR的高度可能是0 if(subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;// 假如插入节点之前parent就是整棵树的根if(_root == parent){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if(grandParent->_left ==  parent){grandParent->_left = subL;}else{grandParent->_right = subL;}subL->_parent = grandParent;}parent->_bf =0;subL->_bf = 0;
}

左右双旋

当新的节点插入在较高左树的右边时,需要进行左右双旋.

假定是如下图的情况:
在这里插入图片描述

此时在h这个子树插入数据时,整棵树的左边是较高的,此时我们假如采用右旋转,则会:
在这里插入图片描述

会发现,右旋之后,值为30的节点的平衡因子还是-2,所以我们不能采用单旋了,使用双旋.

  • 假设h是大于0的情况:

    先将b子树拆分:
    在这里插入图片描述

    将b拆分为值为40(这里40只是例子,只要满足时大于30小于60即可)的节点和e子树和f子树,那么此时由e和f两个子树了,新的节点就会有两种选择了.

    • 当在e子树插入数据时:以30为断点进行左单旋,接着对整棵树进行右单旋
      在这里插入图片描述

      通过图可知,最后形成的树是符合要求的,并且各自的平衡因子经过计算都是满足要求的.

    • 当在f子树插入节点时:
      对仍然对局部进行左单旋,接着对整棵树进行右单旋.

      在这里插入图片描述

      并且经过计算之后的平衡因子经过计算之后也是符合要求的.

    当h==0时:
    此时e和f就不存在了,

    • 当在30的右边插入节点时,就先对30为根的树进行做单旋,对整棵树进行右单旋.如下图所示,最终计算出的平衡因子都是符合要求的.

    在这里插入图片描述

    • 当在30的左边插入节点时:可以直接对整棵树进行右单旋即可.

    最终形成的树的关键节点的平衡因子的如何确定:由上图可以看出规律

    • 当h!=0时
      • 当新节点在e子树插入时:40所在节点的平衡因子是0,30所在节点的平衡因子是0,60所在节点的平衡因子是1.
      • 当新节点在f子树插入时:40所在节点的平衡因子是0,30所在节点的平衡因子是-1,60所在节点的平衡因子是0.
    • 当h==0时,这个三个关键节点的平衡因子都是0

    如何确定规律呢?

    因为e和f这两颗子树的高度是相同的.所以在e树插入数据时,e的parent的平衡因子就会更新为-1,
    在这里插入图片描述

    当是在f树插入节点时,f的parent的平衡因子就会更新成1.
    在这里插入图片描述

    当e和f不存在时:
    在这里插入图片描述

    代码实现:

    可以就可以利用subL的右节点的平衡因子的值来确定关键节点的平衡因子的值

    这里可以复用前面的代码,但是前面的左旋和右旋都会将节点的平衡因子都改成0.所以需要提前保存这个值

    void RotateLR(Node* parent)
{// 记录节点,为了保存节点里的_bf的值.Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;// 提前保存好平衡因子,防止被修改int bf = subLR->_bf;// 直接调用RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if(bf == -1){subLR->bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if(bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if(bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{// 此时就不是AVL树. ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/3a4298086b6f436385586435bd9eaad7.png)assert(false);  }
}

右左双旋

当新节点插入在较高右树的左侧时,需要右左双旋了.采用的是和左右双旋类似的思想

在这里插入图片描述

  • 当h!=0时

    • 当在e树插入时:
      在这里插入图片描述

    • 当在f树插入时:
      在这里插入图片描述

  • 当h==0时
    在这里插入图片描述

代码实现:

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL ->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if(bf == -1){subRL ->_bf = 0;parent->_bf =0;subR ->_bf = 1;}else if(bf == 1){subRL->_bf = 0;parent->_bf =-1;subR->_bf = 0;}else if(bf ==0){subRL->_bf = 0;parent->_bf =0;subR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

如何验证一个树是否是avl树

可以计算每一个子树的高度,观察高度差.

可以先写一个检查高度的函数

int _Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}int Height(){return _Height(_root);}

在写一个Isbalance函数检查函数的左右高度是否符合要求

bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int balance = _Height(root->_right) - _Height(root->_left);if (abs(balance) <= 2){cout << "平衡" << endl;return true;}else{cout << "不平衡" << endl;return false;}if (balance != root->_bf){cout << " 平衡因子异常 ";return false;}return _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);}

但是这个函数使用的递归太多了,复杂度太高了.每次在计算高度差的时候,已经将高度给计算出来了,但是函数的最后还是要计算左右子树的高度.

balance的优化,使用一个引用来记录height的左右高度.

bool _IsBalance(Node* root,int& Height){if (root == nullptr){height = 0;return true;            }int balance = _Height(root->_right) - _Height(root->_left);int leftHeight = 0,rightHeight = 0;// 左右子树只要有一个不是平衡树,就返回falseif (!_IsBalance(root->_left, leftHeight) || !_IsBalance(root->_right, rightHeight)){return false;}if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2){cout <<root->_kv.first<<"不平衡" << endl;return false;}if (balance != root->_bf){cout << " 平衡因子异常 ";return false;}height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;return true;}

结束

关于AVL树的讲解就到这里啦,如有不足,请在评论区指正,下期见!

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