哈希概念

顺序结构以及平衡树中，元素关键码与其存储位置之间没有对应的关系，因此在查找一个元素时，必须要经过关键码的多次比较。顺序查找时间复杂度为O(N)，平衡树中为树的高度，即O(logN)，搜索的效率取决于搜索过程中元素的比较次数。

理想的搜索方法：可以不经过任何比较，一次直接从表中得到要搜索的元素。

如果构造一种存储结构，通过某种函数(hashFunc)使元素的存储位置与它的关键码之间能够建立一一映射的关系，那么在查找时通过该函数可以很快找到该元素。

当向该结构中：

• 插入元素：根据待插入元素的关键码，以此函数计算出该元素的存储位置并按此位置进行存放；
• 搜索元素：对元素的关键码进行同样的计算，把求得的函数值当做元素的存储位置，在结构中按此位置取元素比较，若关键码相等，则搜索成功。

该方式即为哈希(散列)方法，哈希方法中使用的转换函数称为哈希(散列)函数，构造出来的结构称为哈希表(Hash Table)(或者称散列表。

例如：数据集合{1，7，6，4，5，9}；
哈希函数设置为：hash(key) = key % capacity; capacity为存储元素底层空间总的大小。

哈希冲突

不同关键字通过相同哈希哈数计算出相同的哈希地址，该种现象称为哈希冲突或哈希碰撞。把具有不同关键码而具有相同哈希地址的数据元素称为“同义词”。

例如此时需要插入一个44，就会出现下面的问题，44与4的位置是冲突的，这就是哈希冲突问题。

哈希函数

引起哈希冲突的一个原因可能是：哈希函数设计不够合理。

哈希函数设计原则：

• 哈希函数的定义域必须包括需要存储的全部关键码，而如果散列表允许有m个地址时，其值域必须在0到m-1之间
• 哈希函数计算出来的地址能均匀分布在整个空间中
• 哈希函数应该比较简单

常见的哈希函数：

1. 直接定址法
   取关键字的某个线性函数为散列地址：Hash（Key）= A*Key + B
   优点：简单、均匀
   缺点：需要事先知道关键字的分布情况
   使用场景：适合查找比较小且连续的情况
2. 除留余数法
   设散列表中允许的地址数为m，取一个不大于m，但最接近或者等于m的质数p作为除数，按照哈希函数：Hash(key) = key% p(p<=m),将关键码转换成哈希地址
3. 平方取中法
   假设关键字为1234，对它平方就是1522756，抽取中间的3位227作为哈希地址；
   再比如关键字为4321，对它平方就是18671041，抽取中间的3位671(或710)作为哈希地址；
   平方取中法比较适合：不知道关键字的分布，而位数又不是很大的情况。
4. 折叠法
   折叠法是将关键字从左到右分割成位数相等的几部分(最后一部分位数可以短些)，然后将这几部分叠加求和，并按散列表表长，取后几位作为散列地址。
   折叠法适合事先不需要知道关键字的分布，适合关键字位数比较多的情况
5. 随机数法
   选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的哈希地址，即H(key) = random(key),其中random为随机数函数。
   通常应用于关键字长度不等时采用此法
6. 数学分析法
   设有n个d位数，每一位可能有r种不同的符号，这r种不同的符号在各位上出现的频率不一定相同，可能在某些位上分布比较均匀，每种符号出现的机会均等，在某些位上分布不均匀只有某几种符号经常出现，可根据散列表的大小，选择其中各种符号分布均匀的若干位作为散列地址。

我们在此主要了解直接定址法和除留余数法。

哈希冲突解决

解决哈希冲突两种常见的方法是：闭散列和开散列

闭散列

闭散列：也叫开放定址法，当发生哈希冲突时，如果哈希表未被装满，说明在哈希表中必然还有空位置，那么可以把key存放到冲突位置中的"下一个"空位置中去。

1. 线性探测

线性探测：从发生冲突的位置开始，依次向后探测，直到寻找到下一个空位置为止。

Hi = (H0 + i)%m ( i = 1 , 2 , 3 , . . . )
H0：通过哈希函数对元素的关键码进行计算得到的位置。
Hi：冲突元素通过线性探测后得到的存放位置。
m：表的大小

比如在上面的场景中，现在需要插入元素44，先通过哈希函数计算哈希地址，哈希地址为4，因此44理论上应该插在该位置，但是该位置已经放了值为4的元素，即发生哈希冲突。

通过观察可以发现，在插入元素的时候，通过哈希函数获取待插入元素在哈希表中的位置，如果该位置中没有元素则直接插入新元素，如果该位置中有元素发生哈希冲突，使用线性探测找到下一个空位置，插入新元素。

我们会发现，数据越多，产生哈希冲突的概率就越高，进行查找的效率也就越低，所以哈希表中引入了负载因子的概念：

负载因子 = 表中有效数据个数 / 空间的大小

• 负载因子越大，产生哈希冲突的概率也就越大，增删查改效率也就越低，空间利用率就越高；
• 负载因子越小，产生哈希冲突的概率也就越小，增删查改效率也就越高，空间利用率就越低。

对于闭散列（开放定址法）来说，负载因子是特别重要的因素，一般控制在0.7~0.8以下，超过0.8会导致在查表时CPU缓存不命中（cache missing）按照指数曲线上升。
因此，一些采用开放定址法的hash库，如JAVA的系统库限制了负载因子为0.75，当超过该值时，会对哈希表进行增容。

比如我们此时将容量扩大至20，我们就会发现，哈希冲突的概率明显减少：

我们要注意删除时哈希表中的元素是不能随便进行删除的，因为一个元素的删除可能会影响另一个元素的查找，例如我们将4这个元素删除掉，后就会影响到44的查找，因此线性探测采用标记的伪删除法来删除一个元素。

哈希表闭散列实现

哈希表的结构

为了方便我们对哈希表中数据进行删除与查找，我们可以使用枚举将每个位置的状态标识出来：

enum State
{EMPTY,   //(未存储数据的空位置)EXIST,   //(已存储数据)DELETE   //(数据被删除)
};

当我们对某一数据进行删除以后，我们将其状态标识为DELETE状态 ，如果该位置是存在哈希冲突的位置，我们进行查找的过程就会识别该位置并不是EMPTY状态而是DELETE状态，就会去他后面的位置寻找，删除同样也是如此操作。

因此，闭散列的哈希表中的每个位置存储的结构，应该包括所给数据和该位置的当前状态。

	template<class K, class V>struct HashData{pair<K, V> _kv;//每个位置最开始为空State _state = EMPTY;};

为了在插入元素时好计算当前哈希表的负载因子，我们还应该时刻存储整个哈希表中的有效元素个数，当负载因子过大时就应该进行哈希表的增容。

template<class K, class V>
class HashTable
{
public://
private:vector<HashData<K, V>> _tables;//哈希表size_t n = 0;//哈希表中有效元素个数
};

哈希表的插入

插入主要分为以下步骤：

1. 判断哈希表中是否存在该键值对，如果存在，就返回false；
2. 判断是否需要对哈希表大小进行调整，如果哈希表大小为0或者负载因子过大都需要进行扩容；
3. 插入键值对；
4. 哈希表中有效元素+1；

我们需要注意的是，扩容以后，并不是简单的将旧表的数据给挪到新表当中去，而是在新表中重新计算所占位置，然后再依次进行插入，插入具体步骤就是：

1. 通过哈希函数计算出相应的哈希地址；
2. 判断该位置状态是否是DELET或者EMPTY；
3. 将键值对进行插入，改变当前位置状态为EXIST；

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{//如果此处键值对已经存在，就返回falseif (Find(kv.first)){return false;}//判断是需要进行扩容if (_tables.size() == 0 || 10 * _size / _tables.size() >= 7){size_t newSize = _tables.size() == 0 ? 10 : 2 * _tables.size();//创建一个新的哈希表HashTable newHT;newHT._tables.resize(newSize);//将旧表数据重新计算哈希地址插入到新表中for (auto e : _tables){if (e._state == EXIST){newHT.Insert(e._kv);}}//将旧表数据与新表数据进行交换_tables.swap(newHT._tables);}//计算哈希地址size_t hashi = kv.first % _tables.size();//寻找状态为DELETE和EMPTY位置进行插入while (_tables[hashi]._state == EXIST){hashi++;hashi %= _tables.size();}//插入键值对_tables[hashi]._kv = kv;//改变状态_tables[hashi]._state = EXIST;//元素个数++_size++;return true;
}

哈希表的查找

查找步骤如下：

1. 先判断哈希表是否为空，为空就赶回nullptr；
2. 然后用哈希函数计算出哈希地址，在哈希地址处开始查找，如果在EXIST位置找到该元素，则查找成功，如果到空位置，则查找失败；

我们要注意的是必须对哈希地址进行限制，否则就会有越界的风险。

代码如下：

HashData<K, V>* Find(const K& key)
{//如果哈希表为空，就返回falseif (_tables.size() == 0){return nullptr;}//计算哈希地址size_t hashi = key % _tables.size();size_t start = hashi;//在状态不为EMPTY的地方进行查找while (_tables[hashi]._state != EMPTY){//如果此时该位置不是DELETE状态并且key值等于查找的key值,返回该位置地址if (_tables[hashi]._state != DELETE && _tables[hashi]._kv.first == key){return &_tables[hashi];}//去下一个位置进行查找hashi++;hashi %= _tables.size();if (hashi == start){break;}}//找不到就返回空return nullptr;
}

哈希表的删除

删除步骤如下：
判断哈希表中是否存在该值，存在就将该位置状态设置为DELETE，不存在就直接返回false。

bool Erase(const K& key)
{//判断该key值是否存在HashData<K, V>* ret = Find(key);//存在即为真if (ret){//存在就更改该位置状态ret->_state = DELETE;_size--;}//否则就返回falsereturn false;
}

上述情况针对int类型的的数据没有问题，但是如果是string类型的数据，我们就会发现，就无法直接对key值比较进行判断，此时就需要针对string类型创建一个仿函数，如果我们此时传入的是一个string对象，就可以调用仿函数得到val值，然后在就可以就算哈希地址了；

template<class K>
struct HashFunc
{size_t operator()(const K& key){//所有类型都强转为size_t类型return (size_t)key;}
};
//模板特化
template<>
struct HashFunc<string>
{size_t operator()(const string& key){size_t val = 0;for (auto ch : key){val *= 131;val += ch;}return val;}
};

代码整体就可以优化为：

namespace CloseHash
{enum State{EMPTY,   //(未存储数据的空位置)EXIST,   //(已存储数据)DELETE   //(数据被删除)};template<class K, class V>struct HashData{pair<K, V> _kv;//每个位置最开始为空State _state = EMPTY;};template<class K>struct HashFunc{size_t operator()(const K& key){//所有类型都强转为size_t类型return (size_t)key;}};//模板特化template<>struct HashFunc<string>{size_t operator()(const string& key){size_t val = 0;for (auto ch : key){val *= 131;val += ch;}return val;}};template<class K, class V, class Hash = HashFunc<K>>class HashTable{public:bool Insert(const pair<K, V>& kv){//如果此处键值对已经存在，就返回falseif (Find(kv.first)){return false;}//判断是需要进行扩容if (_tables.size() == 0 || 10 * _size / _tables.size() >= 7){size_t newSize = _tables.size() == 0 ? 10 : 2 * _tables.size();//创建一个新的哈希表HashTable<K, V, Hash> newHT;newHT._tables.resize(newSize);//将旧表数据重新计算哈希地址插入到新表中for (auto e : _tables){if (e._state == EXIST){newHT.Insert(e._kv);}}//将旧表数据与新表数据进行交换_tables.swap(newHT._tables);}Hash hash;//计算哈希地址size_t hashi = hash(kv.first) % _tables.size();//寻找状态为DELETE和EMPTY位置进行插入while (_tables[hashi]._state == EXIST){hashi++;hashi %= _tables.size();}//插入键值对_tables[hashi]._kv = kv;//改变状态_tables[hashi]._state = EXIST;//元素个数++_size++;return true;}HashData<K, V>* Find(const K& key){//如果哈希表为空，就返回falseif (_tables.size() == 0){return nullptr;}Hash hash;//计算哈希地址size_t hashi = hash(key) % _tables.size();size_t start = hashi;//在状态不为EMPTY的地方进行查找while (_tables[hashi]._state != EMPTY){//如果此时该位置不是DELETE状态并且key值等于查找的key值,返回该位置地址if (_tables[hashi]._state != DELETE && _tables[hashi]._kv.first == key){return &_tables[hashi];}//去下一个位置进行查找hashi++;hashi %= _tables.size();if (hashi == start){break;}}//找不到就返回空return nullptr;}bool Erase(const K& key){//判断该key值是否存在HashData<K, V>* ret = Find(key);//存在即为真if (ret){//存在就更改该位置状态ret->_state = DELETE;_size--;}//否则就返回falsereturn false;}void Print(){for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++){if (_tables[i]._state == EXIST){printf("[%d:%d] ", i, _tables[i]._kv.first);}else{printf("[%d:*] ", i);}}cout << endl;}private:vector<HashData<K, V>> _tables;//哈希表size_t _size = 0;//哈希表中有效元素个数};

2. 二次探测

线性探测的缺陷是产生冲突的数据堆积在一块，这与其找下一个空位置有关系，因为找空位置的方式就是挨着往后逐个去找，因此二次探测为了避免该问题，找下一个空位置的方法为：

Hi = (H0 + i²)%m ( i = 1 , 2 , 3 , . . . )
H0：通过哈希函数对元素的关键码进行计算得到的位置。
Hi：冲突元素通过线性探测后得到的存放位置。
m：表的大小

研究表明：当表的长度为质数且表装载因子a不超过0.5时，新的表项一定能够插入，而且任何一个位置都不会被探查两次。因此只要表中有一半的空位置，就不会存在表满的问题。在搜索时可以不考虑表装满的情况，但在插入时必须确保表的装载因子a不超过0.5，如果超出必须考虑增容。

开散列

开散列概念

开散列法又叫链地址法(开链法)，首先对关键码集合用散列函数计算散列地址，具有相同地址的关键码归于同一子集合，每一个子集合称为一个桶，各个桶中的元素通过一个单链表链接起来，各链表的头结点存储在哈希表中。

例如，我们用除留余数法将下图序列插入到表长为10的哈希表中，当发生哈希冲突时我们采用开散列的形式，将哈希地址相同的元素都链接到同一个哈希桶下，插入过程如下：

哈希表的结构

在开散列的哈希表中，哈希表的每个位置存储的实际上是某个单链表的头结点，即每个哈希桶中存储的数据实际上是一个结点类型，该结点类型除了存储所给数据之外，还需要存储一个结点指针用于指向下一个结点。

template<class K, class V>
class HashNode
{pair<K, V> _kv;HashNode<K, V>* next;//构造函数HashNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),next(nullptr){}
};

与闭散列的哈希表不同的是，在实现开散列的哈希表时，我们不用为哈希表中的每个位置设置一个状态字段，因为在开散列的哈希表中，我们将哈希地址相同的元素都放到了同一个哈希桶中，并不需要经过探测寻找所谓的“下一个位置”。

template<class K, class V>
class HashTable
{typedef HashNode<K, V> Node;
public://
private:vector<Node*> _tables;size_t size = 0;
};

我们还需在这儿提供一个哈希表的析构函数，用于哈希表中单链表结点的释放：

~HashTable()
{for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++){Node* cur = _tables[i];while (cur){Node* next = cur->next;delete cur;cur = next;}_tables[i] = nullptr;}
}

哈希表的插入

开散列的哈希表插入与闭散列插入思想大致相同，都需要计算哈希地址出哈希地址，但是开散列的哈希表扩容以后，只是将旧表的结点移动到新表当中，并不是复用旧表数据，当开散列的负载因子为1时，我们就创建一个新的哈希表，将旧表结点移动至新表中，在交换旧表与新表数据即可；

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{//如果该键值对存在，就返回falseif (Find(kv.first)){return false;}//如果负载因子为1就扩容if (_size == _tables.size()){//创建一个新的哈希表vector<Node*> newTables;size_t newSizes = _size == 0 ? 10 : 2 * _tables.size();//将每个元素初始化为空newTables.resize(newSizes, nullptr);//将旧表结点插入到新表当中for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++){Node* cur = _tables[i];while (cur){//记录cur的下一个结点Node* next = cur->_next;//计算相应的哈希桶编号size_t hashi = cur->_kv.first % newTables.size();//将旧表结点移动值新表cur->_next = newTables[hashi];newTables[hashi] = cur;cur = next;}_tables[i] = nullptr;}_tables.swap(newTables);}//计算哈希桶编号size_t hashi = kv.first % _tables.size();//插入结点Node* newnode = new Node(kv);newnode->_next = _tables[hashi];_tables[hashi] = newnode;//元素个数++_size++;return true;
}

哈希表的查找

查找步骤如下：

1. 先判断哈希表大小是否为0，为0就返回nullptr；
2. 通过哈希函数计算出对应的哈希地址；
3. 通过哈希地址找到对应的哈希桶中的单链表，遍历单链表进行查找即可。

Node* Find(const K& key)
{//哈希表为空就返回空if (_tables.size() == 0){return nullptr;}//计算哈希地址size_t hashi = key % _tables.size();Node* cur = _tables[hashi];//遍历哈希桶while (cur){if (cur->_kv.first == key){return cur;}cur = cur->_next;}return nullptr;
}

哈希表的删除

查找步骤如下：

1. 先判断哈希表大小是否为0，为0就返回false；
2. 通过哈希函数计算出对应的哈希地址；
3. 通过哈希地址找到对应的哈希桶中的单链表，遍历单链表进行删除即可。

bool Erase(const K& key)
{//哈希表大小为0，删除失败if (_tables.size() == 0){return false;}//计算哈希地址size_t hashi = key % _tables.size();Node* prev = nullptr;Node* cur = _tables[hashi];//遍历哈希桶，寻找删除结点是否存在while (cur){if (cur->_kv.first == key){if (prev){prev->next = cur->next;}else{_tables[hashi] = cur->next;}//删除该结点delete cur;_size--;return true;}prev = cur;cur = cur->next;}//删除结点不存在，返回falsereturn false;
}

同样，我们也可以针对string提供一个仿函数，代码整体优化如下：

namespace HashBucket
{template<class K, class V>struct HashNode{pair<K, V> _kv;HashNode<K, V>* _next;//构造函数HashNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_next(nullptr){}};template<class K, class V, class Hash = HashFunc<K>>class HashTable{typedef HashNode<K, V> Node;public:~HashTable(){for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++){Node* cur = _tables[i];while (cur){Node* next = cur->_next;delete cur;cur = next;}_tables[i] = nullptr;}}bool Insert(const pair<K, V>& kv){//如果该键值对存在，就返回falseif (Find(kv.first)){return false;}Hash hash;//如果负载因子为1就扩容if (_size == _tables.size()){//创建一个新的哈希表vector<Node*> newTables;size_t newSizes = _size == 0 ? 10 : 2 * _tables.size();//将每个元素初始化为空newTables.resize(newSizes, nullptr);//将旧表结点插入到新表当中for (size_t i = 0; i < _tables.size(); i++){Node* cur = _tables[i];while (cur){//记录cur的下一个结点Node* next = cur->_next;//计算相应的哈希桶编号size_t hashi = hash(cur->_kv.first) % newTables.size();//将旧表结点移动值新表cur->_next = newTables[hashi];newTables[hashi] = cur;cur = next;}_tables[i] = nullptr;}_tables.swap(newTables);}//计算哈希桶编号size_t hashi = hash(kv.first) % _tables.size();//插入结点Node* newnode = new Node(kv);newnode->_next = _tables[hashi];_tables[hashi] = newnode;//元素个数++_size++;return true;}//查找Node* Find(const K& key){//哈希表为空就返回空if (_tables.size() == 0){return nullptr;}Hash hash;//计算哈希地址size_t hashi = hash(key) % _tables.size();Node* cur = _tables[hashi];//遍历哈希桶while (cur){if ((cur->_kv.first) == key){return cur;}cur = cur->_next;}return nullptr;}//删除bool Erase(const K& key){//哈希表大小为0，删除失败if (_tables.size() == 0){return false;}Hash hash;//计算哈希地址size_t hashi = hash(key) % _tables.size();Node* prev = nullptr;Node* cur = _tables[hashi];//遍历哈希桶，寻找删除结点是否存在while (cur){if (hash(hash(cur->_kv.first)) == key){if (prev){prev->_next = cur->_next;}else{_tables[hashi] = cur->_next;}//删除该结点delete cur;_size--;return true;}prev = cur;cur = cur->_next;}//删除结点不存在，返回falsereturn false;}private:vector<Node*> _tables;size_t _size = 0;};
}

我们在查看stl库中源码可以发现，哈希桶的扩容方式的大小都为素数，这是为了减小哈希冲突所设计出来的，研究发现，哈希表扩容大小设置为素数，极大地减少了哈希冲突。我们将一系列素数存储在一个数组当中，然后根据情况在进行扩容即可：

inline size_t __stl_next_prime(size_t n)
{static const size_t __stl_num_primes = 28;static const size_t __stl_prime_list[__stl_num_primes] ={53, 97, 193, 389, 769,1543, 3079, 6151, 12289, 24593,49157, 98317, 196613, 393241, 786433,1572869, 3145739, 6291469, 12582917, 25165843,50331653, 100663319, 201326611, 402653189, 805306457,1610612741, 3221225473, 4294967291};for (size_t i = 0; i < __stl_num_primes; ++i){if (__stl_prime_list[i] > n){return __stl_prime_list[i];}}return -1;
}

最终插入代码扩容就可以优化为：

newTables.resize(__stl_next_prime(_tables.size()), nullptr);