2023国赛B题：多波束测线问题评阅要点完整分析

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制作人：川川徒弟 demoo
CSDN：川川菜鸟
公众号：川川带你学AI

官方评卷要点
全文采用非编程做法
需要工具： geogebra、matlab工具箱
注：本文全文不考虑测线不平行的复杂情况

问题一

该题在解析中要求重新给出覆盖宽度、覆盖率的定义，但实际上我们可以直接沿用原定义，只不过覆盖率在计算时的参照对象改为自己，修正后的定义如下：
$\eta_{i+1}=1-\frac{d}{w_i}$
接着操作就十分简单了，坡面方程已知，射线所过定点已知，射线斜率已知，那射线与坡面的交点坐标自然也已知，其他的相关量也可一并得出，接着直接用geogebra进行绘图测量即可：
geogebra操作示意图

如上图所示，可以通过这种稍繁琐的方法求出所有的相关量，完善表格。

问题二

要点所给的方法已经是相当简单的了，当测线不再平行于坡面时，坡面相对于测线的角度也会发生变化，具体的转换公式如下：
$\tan \gamma=\frac{x \tan 1.5^{\circ}}{x \sqrt{1+\tan ^2 \beta}}=\frac{\tan 1.5^{\circ}}{\sqrt{1+\tan ^2 \beta}}$
推导过程较为繁琐这里就不多赘述了，笔者采用的是建系，从解析几何的角度进行考量，虽然结果上问题不大但是过程较为繁琐并且和要点偏离较远，这里就不多阐述了，紧接着重复第一问步骤即可。

问题三

要点只阐述了结果，这里分两步进行细致阐述：

Part 1.理论证明

先证明为什么在测线平行时，沿着等深线方向布线是最优的布线方案：

条带示意图

Step1.布线原则（行为逻辑)：
由第二问可知当β为0时，条带形状为一矩形或者一梯形，浅水区带宽较小为上底，深水区带宽较长为下底，布线行为遵循一个原则，从最浅处，最距离直线的最远处开始布线，第一条线所形成条带刚好能覆盖边界线或顶点，所有的线均遵从在满足覆盖率满足要求的前提下尽可能的小，这样可以保证条带的面积得到充分的利用，所需的条数尽可能的少。

Step2.沿着等深线布线所需要的条数是最少的：
证明这一点时上面的图能发挥作用了，依题意所有区域都要被条带覆盖，为了方便分析，不妨取一条东西走向的边界线进行分析，再观察上图，右侧的黑色线代表条带的宽度，可以发现在同一点，不同角度所形成的条带所成的图形为一椭圆，可以发现当β为90°时其为长轴，带宽长度最长，所需的条数最小。

Step3.等深线布线的总测线长度是最小的：
上面我们证明了沿等深线布线所需条数是最小的，但仅凭条数并不足以说明这样排布的总条数最小，我们暂且不考虑重复率超过限制导致的方案作废，当β角不为0时，若不考虑截断，总长度是增加的，考虑截断，可以发现左下角被截断部分分布较疏，而右上角新增部分分布较密，权衡之后，总长度还是增加了，所以再β为0时，沿着等深线布线是最优方案。