让字符串成为回文串的最少插入次数

题目链接：让字符串成为回文串的最少插入次数

题目

给你一个字符串 s ，每一次操作你都可以在字符串的任意位置插入任意字符。

请你返回让 s 成为回文串的 最少操作次数 。

「回文串」是正读和反读都相同的字符串。

示例 1：

输入：s = "zzazz"
输出：0
解释：字符串 "zzazz" 已经是回文串了，所以不需要做任何插入操作。

示例 2：

输入：s = "mbadm"
输出：2
解释：字符串可变为 "mbdadbm" 或者 "mdbabdm" 。

示例 3：

输入：s = "leetcode"
输出：5
解释：插入 5 个字符后字符串变为 "leetcodocteel" 。

提示：

• 1 <= s.length <= 500
• s 中所有字符都是小写字母。

---

解法

算法原理与解析

我们这题使用动态规划，我们做这类题目可以分为以下五个步骤

1. 状态显示
2. 状态转移方程
3. 初始化（防止填表时不越界）
4. 填表顺序
5. 返回值

• 状态显示

dp[i][j] 表⽰字符串 [i, j] 区域成为回⽂⼦串的最少插⼊次数。

• 状态转移方程

1. 当⾸尾两个元素「相同」的时候，也就是 s[i] == s[j] ：
   1. 那么 [i, j] 区间内成为回⽂⼦串的最少插⼊次数，取决于 [i + 1, j - 1] 区间内成为回⽂⼦串的最少插⼊次数；
   2. 若 i == j 或 i == j - 1 （ [i + 1, j - 1] 不构成合法区间），此时只有 1 ~ 2 个相同的字符， [i, j] 区间⼀定是回⽂⼦串，成为回⽂⼦串的最少插⼊次数是 0。
   3. 此时 dp[i][j] = i >= j - 1 ? 0 : dp[i + 1][j - 1] 
2. 当⾸尾两个元素「不相同」的时候，也就是 s[i] != s[j] ：
   1. 此时可以在区间最右边补上⼀个 s[i] ，需要的最少插⼊次数是 [i + 1, j] 成为回⽂⼦串的最少插⼊次数 + 本次插⼊，即 dp[i][j] = dp[i + 1][j] + 1 ；
   2. 此时可以在区间最左边补上⼀个 s[j] ，需要的最少插⼊次数是 [i, j + 1] 成为回⽂⼦串的最少插⼊次数 + 本次插⼊，即 dp[i][j] = dp[i][j + 1] + 1 ；

综上所述，状态转移⽅程为：

• 当 s[i] == s[j] 时： dp[i][j] = i >= j - 1 ? 1 : dp[i + 1][j - 1] 。
• 当 s[i] != s[j] 时： dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1。

• 初始化（防止填表时不越界）

根据「状态转移⽅程」，没有不能递推表⽰的值。⽆需初始化。

• 填表顺序

根据「状态转移」，我们发现，在 dp 表所表⽰的矩阵中， dp[i + 1] 表⽰下⼀⾏的位置，

dp[j - 1] 表⽰前⼀列的位置。因此我们的填表顺序应该是「从下往上填写每⼀⾏」，「每⼀

⾏从左往右」。

• 返回值

根据「状态表⽰」，我们需要返回 [0, n -1] 区域上成为回⽂⼦串的最少插⼊次数，因此需要

返回 dp[0][n - 1] 。

---

代码实现 

class Solution {
public:int minInsertions(string s) {int n = s.size();vector<vector<int> > dp(n, vector<int>(n));			// 表示[i,j]位置成为回文串最少的插入数据// 填表，从下到上，从左到右for (int i = n - 1; i >= 0; i--){for (int j = i + 1; j < n; j++){if (s[i] == s[j]) { dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : 0; }else { dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1; }}}return dp[0][n - 1];}
};