2024年妈妈杯数学建模MathorCup数学建模思路B题思路解析+参考成品

1 赛题思路

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2 比赛日期和时间
报名截止时间：2024年4月11日（周四）12:00

比赛开始时间：2024年4月12日（周五）8:00

比赛结束时间：2024年4月16日（周二）9:00

3 组织机构
主办单位：中国优选法统筹法与经济数学研究会

中国优选法统筹法与经济数学研究会是在中国科学技术协会直接领导下的学术性社会团体，是国家一级学会。学会由华罗庚教授于1981年发起成立，至今成立了评价方法与应用、项目管理、计算机模拟、统筹、管理决策与信息系统、工业工程、高等教育管理、数学教育、经济数学与管理数学、应急管理、灰色系统研究，复杂系统研究等十余个专业分会。竞赛是由中国优选法统筹法与经济数学研究会主办，MathorCup高校数学建模挑战赛组委会具体负责竞赛的组织。

4 建模常见问题类型

趁现在赛题还没更新，给大家汇总一下建模经常使用到的数学模型，题目八九不离十基本属于一下四种问题

4.1 分类问题

神经网络分类：

BP 神经网络是一种神经网络学习算法。其由输入层、中间层、输出层组成的阶层型神经网络，中间层可扩展为多层。RBF（径向基）神经网络：径向基函数(RBF-Radial Basis Function)神经网络是具有单隐层的三层前馈网络。它模拟了人脑中局部调整、相互覆盖接收域的神经网络结构。感知器神经网络：是一个具有单层计算神经元的神经网络，网络的传递函数是线性阈值单元。主要用来模拟人脑的感知特征。线性神经网络：是比较简单的一种神经网络，由一个或者多个线性神经元构成。采用线性函数作为传递函数，所以输出可以是任意值。自组织神经网络：自组织神经网络包括自组织竞争网络、自组织特征映射网络、学习向量量化等网络结构形式。K近邻算法：　K最近邻分类算法，是一个理论上比较成熟的方法，也是最简单的机器学习算法之一。

import numpy as np# 定义神经网络类
class NeuralNetwork:def __init__(self):# 随机初始化权重np.random.seed(1)self.weights = 2 * np.random.random((3, 1)) - 1# Sigmoid激活函数def sigmoid(self, x):return 1 / (1 + np.exp(-x))# Sigmoid的导数def sigmoid_derivative(self, x):return x * (1 - x)# 训练神经网络def train(self, inputs, outputs, iterations):for iteration in range(iterations):# 正向传播output = self.predict(inputs)# 计算误差error = outputs - output# 反向传播adjustment = np.dot(inputs.T, error * self.sigmoid_derivative(output))# 更新权重self.weights += adjustment# 预测def predict(self, inputs):return self.sigmoid(np.dot(inputs, self.weights))# 训练数据集
training_inputs = np.array([[0, 0, 1],[1, 1, 1],[1, 0, 1],[0, 1, 1]])training_outputs = np.array([[0, 1, 1, 0]]).T# 初始化神经网络
neural_network = NeuralNetwork()print("随机初始化的权重：")
print(neural_network.weights)# 训练神经网络
neural_network.train(training_inputs, training_outputs, 10000)print("训练后的权重：")
print(neural_network.weights)# 测试新数据
print("新数据预测结果：")
print(neural_network.predict(np.array([1, 0, 0])))

4.2 优化问题

研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。建模方法：列出约束条件及目标函数；画出约束条件所表示的可行域；在可行域内求目标函数的最优解及最优值。

非线性规划:

非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。非线性规划研究一个 n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。

整数规划：

规划中的变量（全部或部分）限制为整数，称为整数规划。若在线性模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法往往只适用于整数线性规划。一类要求问题的解中的全部或一部分变量为整数的数学规划。从约束条件的构成又可细分为线性，二次和非线性的整数规划。

from pulp import *# 创建整数规划问题
prob = LpProblem("Integer_Problem", LpMaximize)# 定义决策变量
x1 = LpVariable("x1", lowBound=0, cat='Integer')
x2 = LpVariable("x2", lowBound=0, cat='Integer')# 定义目标函数
prob += 3*x1 + 2*x2, "Objective_Function"# 添加约束条件
prob += 2*x1 + x2 <= 10
prob += x1 + 3*x2 <= 12# 解决问题
prob.solve()# 输出结果
print("Status:", LpStatus[prob.status])
print("Optimal values:")
for v in prob.variables():print(v.name, "=", v.varValue)
print("Optimal value of the objective function:", value(prob.objective))

4.3 预测问题

灰色预测

灰色预测是就灰色系统所做的预测。是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

import numpy as np# 灰色预测模型
def grey_prediction(data):n = len(data)# 累加生成序列accumulation = np.cumsum(data)# 计算累加生成序列的一次紧邻均值生成序列avg_accumulation = 0.5 * (accumulation[:-1] + accumulation[1:])# 建立累加生成序列的一次紧邻均值生成序列与原始数据的关系x0 = data[0]B = np.vstack((-avg_accumulation, np.ones(n-1))).TYn = data[1:]# 求解参数a, u = np.dot(np.linalg.inv(np.dot(B.T, B)), np.dot(B.T, Yn))# 模型检验Pn = (x0 - u/a) * np.exp(-a * np.arange(1, n + 1)) + u/a# 预测predict = np.hstack((x0, np.diff(Pn).cumsum()))return predict# 示例数据
data = np.array([120, 130, 125, 135, 140, 145])# 灰色预测
prediction = grey_prediction(data)# 输出预测结果
print("原始数据:", data)
print("灰色预测结果:", prediction)

4.4 评价问题

主成分分析法（降维）

是一种统计方法。通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。在用统计分析方法研究多变量的课题时，变量个数太多就会增加课题的复杂性。人们自然希望变量个数较少而得到的信息较多。在很多情形，变量之间是有一定的相关关系的，当两个变量之间有一定相关关系时，可以解释为这两个变量反映此课题的信息有一定的重叠。主成分分析是对于原先提出的所有变量，将重复的变量（关系紧密的变量）删去多余，建立尽可能少的新变量，使得这些新变量是两两不相关的，而且这些新变量在反映课题的信息方面尽可能保持原有的信息。设法将原来变量重新组合成一组新的互相无关的几个综合变量，同时根据实际需要从中可以取出几个较少的综合变量尽可能多地反映原来变量的信息的统计方法叫做主成分分析或称主分量分析，也是数学上用来降维的一种方法。

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA# 示例数据
data = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9],[10, 11, 12]])# 创建 PCA 模型，指定主成分数量
pca = PCA(n_components=2)# 拟合数据并进行主成分分析
pca.fit(data)# 转换数据到主成分空间
transformed_data = pca.transform(data)# 主成分
components = pca.components_# 方差解释比
explained_variance_ratio = pca.explained_variance_ratio_# 输出结果
print("原始数据：")
print(data)
print("\n主成分：")
print(components)
print("\n转换后的数据：")
print(transformed_data)
print("\n方差解释比：")
print(explained_variance_ratio)