算法基本概念

算法的定义

算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性

• 输入：算法具有0个或多个输入
• 输出：算法至少有一个或多个输出
• 有穷性
• 确定性
• 可行性

算法设计的要求

1. 正确性
2. 可读性
3. 健壮性
4. 时间效率高和存储量低

算法效率的度量方法

1. 算法时间复杂度
2. 算法空间复杂度

算法时间复杂度

主要对程序的执行进行抽象的分析，重点分析循环结构和函数调用，得出抽象关于问题规模n的多项式，然后用类似极限分析法，忽略较低阶项和系数，最终得到算法时间复杂度。

函数的渐进增长

给定两个函数f(n)和g(n), 如果存在一个整数N， 使得对于所有n>N, f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法时间量度，记作T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

推导大O阶方法

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3. 如果最高阶项系数不是1，则可以去除鱼这个项相乘的系数。

常见的算法时间复杂度

常数阶 O(1)

代码执行次数与问题规模n大小无关，代码中一般没有循环结构。

线性阶O(n)

代码执行次数与问题规模n线性相关，代码中通常没有嵌套的循环结构

对数阶O(logn)

int count =1;
while(count <1){count =count*2;
}

首先我们分析循环中代码执行次数，每次都是乘以2。
x为需要执行的次数
$2^x=n\to x=lo{g}_{2}n$
根据大O记法，忽略log函数的底数，记为logn

平方阶$O(n^2)$

代码通常有循环嵌套

算法时间复杂度的总结

1. 分析时间复杂度，关键就是分析循环结构的运行情况
2. 循环的时间复杂度=循环体的复杂度$\times$该循环运行的次数
3. 大O阶的推导，实质是对数列的相关运算，考察数学知识和能力
4. $O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$
5. 在实际工程中，当算法复杂度高于$O(n^3)$时，基本就很难接受。