LC 222.完全二叉树的节点个数

222. 完全二叉树的节点个数

给你一棵 完全二叉树 的根节点 root ，求出该树的节点个数。

完全二叉树的定义如下：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层，则该层包含 $\sim 2^h$ 个节点。

示例 1：

输入： root = [1,2,3,4,5,6]
输出： 6

示例 2：

输入： root = []
输出： 0

示例 3：

输入： root = [1]
输出： 1

提示：

树中节点的数目范围是 $\times 10^4]$
$\leq Node.val \leq 5 * 104$
题目数据保证输入的树是 完全二叉树

进阶： 遍历树来统计节点是一种时间复杂度为 O(n) 的简单解决方案。你可以设计一个更快的算法吗？

解法一(统一迭代遍历)

思路分析：

采用统一迭代二叉树的遍历方法，来对二叉树进行遍历，在遍历的过程中统计节点数目
此处采用前序遍历

实现代码如下：

class Solution {public int countNodes(TreeNode root) {int ans = 0;if (root == null)return ans;		// 边界条件Deque<TreeNode> stack = new LinkedList<>();stack.push(root);while (!stack.isEmpty()) {TreeNode node = stack.pop();if (node != null) {// 对节点进行处理 添加待遍历节点if (node.right != null)stack.push(node.right);if (node.left != null)stack.push(node.left);// 添加待处理节点stack.push(node);stack.push(null);	// 使用null标记待处理节点} else {stack.pop();	// 弹出待处理节点++ ans;		// 对节点进行计数}}return ans;}}return ans;}
}

提交结果如下：

解答成功:
执行耗时:9 ms,击败了5.25% 的Java用户
内存消耗:44.5 MB,击败了83.97% 的Java用户

复杂度分析：

时间复杂度： $O (n)$
空间复杂度： $O (n)$

解法二(BFS+队列)

思路分析：

采用层序遍历法，对二叉树进行遍历，并在遍历过程中统计节点数

实现代码如下：

class Solution {// BFSpublic int countNodes(TreeNode root) {int ans = 0;if (root == null)return ans;		// 边界条件Queue<TreeNode> queue = new ArrayDeque<>();queue.offer(root);while (!queue.isEmpty()) {int size = queue.size();for (int i = 0; i < size; ++i) {++ ans;TreeNode node = queue.poll();if (node.left != null) queue.offer(node.left);if (node.right != null) queue.offer(node.right);}}return ans;}
}

提交结果如下：

解答成功:
执行耗时:5 ms,击败了9.04% 的Java用户
内存消耗:46.5 MB,击败了5.07% 的Java用户

复杂度分析：

时间复杂度： $O (n)$
空间复杂度： $O (n)$

解法三(二分查找+位运算)

思路分析：

首先题目给出该二叉树为 完全二叉树，因此可以利用完全二叉树的特性计算节点个数。
首先规定根节点位于第0层，完全二叉树的最大层数为h，且根据完全二叉树的特性有；最左边的节点一定位于最底层，且从根节点到最左边的节点的路径长度即为最大层数h
当 $\leq i < h$ 时，第i层包含 $2^i$ 个节点，最底层包含节点数最少为1，最多为 $2^h$
1. 当底层包含1个节点时，完全二叉树的节点个数是： $\sum_{i=0}^{h-1}2^i+1 = 2^h$
2. 当底层包含 $2^h$ 个节点时，完全二叉树的节点个数时： $\sum_{i=0}^{h} = 2^{h+1} - 1$
因此对于最大层数为h的完全二叉树，节点个数在 $2^h, 2^{h+1}-1]$ 的范围内，即在该范围内通过二分查找的方式得到完全二叉树的节点个数
即根据节点个数范围的上下界得到判断的节点个数k，如果第k个节点存在，则节点个数一定大于或等于k，如果第k个节点不存在，则节点个数一定小于 k，因此每次查找的范围缩小一半，直到找到节点个数。
如何判断第k个节点是否存在？如果第k个节点位于第h层，则k的二进制表示包含h+1位，且最高位为1，其余各位从高到底表示从根节点到第k个节点的路径，0表示移动到左子节点，1表示移动到右子节点
通过位运算得到第k个节点对应的路径，然后判断该路径对应的节点是否存在，则可判断第k个节点是否存在

实现代码如下：

class Solution {// 二分查找 + 位运算public int countNodes(TreeNode root) {if (root == null) return 0;	// 边界// 获取二叉树的层数int h = 0;TreeNode node = root;while (node.left != null) {++ h;	// 计算二叉树的层数node = node.left;}// 根据二叉树的层数 获取节点数范围int min = 1 << h;	// 位运算计算	最低限度int max = (1 << (h + 1)) - 1;	// 位运算计算 最高限度int ans = 0;	// 即二分查找寻找符合条件的 用ans来保存// 二分查找区间为 左闭右闭while (min <= max) {int mid = ((max - min) >> 1) + min;if (exitTreeNode(mid, root, h)) {// 如果存在 则继续查找ans = mid;min = mid + 1;} else {max = mid - 1;}}return ans;		// 在结束二分查找时 min指向的节点是最后一个存在的节点}private boolean exitTreeNode(int k, TreeNode root, int level) {// 获取当前从根节点出发的方向int bits = 1 << (level-1);TreeNode node = root;while (node != null && bits > 0) {if ((bits & k) == 0) {node = node.left;} else {node = node.right;}bits >>= 1;}return node != null;}
}