数据结构：详解【树和二叉树】

1. 树的概念及结构（了解）

1.1 树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

1.2 树的结构
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1.3 树与非树：

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1.4 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

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2. 与树的结构相关的概念

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  • 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6。
  • 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点。
  • 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点。
  • 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点。
  • 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点。
  • 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点。
  • 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6。
  • 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
  • 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4。
  • 森林：由m（m>0）棵互不相交的多颗树的集合称为森林；（数据结构中的学习并查集本质就是一个森林）。

3. 二叉树的概念及结构

2.1 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

2.2 二叉树的特点：
1.每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
2.二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

2.3 两种特殊的二叉树
（1）满二叉树：
一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2k -1 ，则它就是满二叉树。
（2）完全二叉树：
对于深度为K的，有n个结点的二叉树，如果满足前K-1层都是满的，最后一层不满，但最后一层从左到右都是连续的。则这个二叉树就是完全二叉树。
在这里插入图片描述

（3）对这两种二叉树的有关数据的推导

在这里插入图片描述

4. 二叉树的性质

  • 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点。
  • 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1。
  • 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1。
  • 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = logN(以2为底）。

5. 二叉树的存储

5.1 顺序存储 ：
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

在这里插入图片描述

5.2 链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。

![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/c24bc02ae45b457aba2121bb692246bc.png

6. 二叉树的前，中，后序遍历

要实现前，中，后序遍历，我们需要再来理解二叉树的结构。把任一一棵二叉树分为三部分：根节点，左子树，右子树。

我们这里先拿一棵简单的二叉树举例：
在这里插入图片描述

6.1 二叉树的前序（先根）遍历：
根，左子树，右子树。
对应上图为：A B D NULL NULL E NULL NULL C NULL NULL。

6.2 二叉树的中序（中根）遍历：
左子树，根，右子树。
对应上图为：NULL D NULL B NULL E NULL A NULL C NULL。

6.3 二叉树的后序（后根）遍历：
左子树，右子树，根。
对应上图为：NULL NULL D NULL NULL E B NULL NULL C A。

7. 有关二叉树的常用功能的实现

7.1 三序（深度优先）遍历的代码实现

这里我们需要用到分治算法： 分而治之，把大问题分成类似的子问题，子问题再分成子问题……直到子问题不可再分割。实际上就是递归思想。

7.2 根据上图代码实现如下：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <stdio.h>
#include <stdlib.h>typedef char BTDataType;//定义二叉树的结构
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;//存放的数据struct BinaryTreeNode* left;//左子树struct BinaryTreeNode* right;//右子树
}BTNode;//前序遍历
void PrevOrder(BTNode* root)//根节点
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}printf("%c ", root->data);PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);
}//中序遍历
void InOrder(BTNode* root)//根节点
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}InOrder(root->left);printf("%c ", root->data);InOrder(root->right);}//后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)//根节点
{if (root == NULL){printf("NULL ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%c ", root->data);}void TreeTest()
{//1.开辟节点和初始化BTNode* A = (BTNode*)malloc(sizeof(BTDataType));if (A == NULL){perror("malloc fail\n");return;}A->data = 'A';A->left = NULL;A->right = NULL;BTNode* B = (BTNode*)malloc(sizeof(BTDataType));if (B == NULL){perror("malloc fail\n");return;}B->data = 'B';B->left = NULL;B->right = NULL;BTNode* C = (BTNode*)malloc(sizeof(BTDataType));if (C == NULL){perror("malloc fail\n");return;}C->data = 'C';C->left = NULL;C->right = NULL;BTNode* D = (BTNode*)malloc(sizeof(BTDataType));if (D == NULL){perror("malloc fail\n");return;}D->data = 'D';D->left = NULL;D->right = NULL;BTNode* E = (BTNode*)malloc(sizeof(BTDataType));if (E == NULL){perror("malloc fail\n");return;}E->data = 'E';E->left = NULL;E->right = NULL;//2.链接各个节点A->left = B;A->right = C;B->left = D;B->right = E;//3.进行输出PrevOrder(A);printf("\n");InOrder(A);printf("\n");PostOrder(A);printf("\n");
}int main()
{TreeTest();return 0;
}

输出结果与我们分析的相同：

在这里插入图片描述

7.22 前序函数递归展开图：
![![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/e81c18c342764d33a3d4497b7a349d03.png](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/5021db310f0b46a5a506abe96959af6d.png
中序和后续的递归展开图类似，读者自行分析。

7.3 计算一棵二叉树的总节点数

方法 1：遍历递归计数，定义局部变量size，传地址计数

代码实现如下：


void TreeSize(BTNode* root,int *psize)
{if (root == NULL){return;}else{(*psize)++;}TreeSize(root->left, psize);TreeSize(root->right, psize);}void TreeTest()
{......//续上上文的代码和图int Asize = 0;TreeSize(A, &Asize);printf("Asize:%d\n", Asize);int Bsize = 0;TreeSize(B, &Bsize);printf("Bsize:%d\n", Bsize);}

方法2：分治思想，递归

代码实现如下：

int TreeSize(BTNode* root)
{return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}void TreeTest()
{......//续上上文的代码和图printf("Asize:%d\n",TreeSize(A) );printf("Bsize:%d\n",TreeSize(B) );}

递归调用可抽象为：

![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/3b543b40b6fe42139d9ea36bc59e7b5d.png

两种方法的输出结果均是：
![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/c6d745f809604d9ba7e3a7d4f23cc8ca.png
7.4 计算一棵二叉树中叶子节点的个数
利用分治思想，后序遍历。

代码实现如下：

int TreeLeafSize(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;//是叶节点if (root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;//左边的叶节点+右边的叶节点return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}void TreeTest()
{......//续上上文的代码和图printf("LeafSize:%d\n",TreeLeafSize(A) );
}

输出结果是：
在这里插入图片描述

7.5 计算二叉树的最大深度

利用分治思想，后序遍历，当根节点为NULL时，返回0；当根节点不为NULL时，分解子问题，先求左右子树的深度，该节点的深度 = 左右子树更大的那一个+1。

代码实现如下：

int MaxDepth(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0 ;int leftdepth = MaxDepth(root->left);int rightdepth = MaxDepth(root->right);return leftdepth > rightdepth ? leftdepth + 1 : rightdepth + 1;}void TreeTest()
{......//续上上文的代码和图printf("MaxDepth:%d\n",MaxDepth(A) );
}

输出结果是：

在这里插入图片描述
7.6 销毁二叉树
销毁二叉树不能从根节点开始销毁，不然会找不到其他节点。要用后序遍历，先左节点，右节点，最后根节点。

代码实现如下：

void DestoryTree(BTNode* root)
{if (root == NULL)return;DestoryTree(root->left);DestoryTree(root->right);free(root);root = NULL;
}

8. 二叉树的层序（广度优先）遍历

8.1 什么是层序遍历

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

在这里插入图片描述

8.2 层序遍历的代码实现

要实现二叉树的层序遍历，我们需要借助队列的先进先出的特性。其核心思想是：上一层的一个节点出的时候带其下一层的子节点进。

画图解释如下：
在这里插入图片描述

代码实现如下：

void LealOrder(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root)QueuePush(&q, root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);//取出队头QueuePop(&q);printf("%c ", front->data);if (front->left)//左不为空，入左节点QueuePush(&q, front->left);if (front->right)//右不为空，入右节点QueuePush(&q, front->right);}printf("\n");QueueDestory(&q);
}void TreeTest()
{......//续上上文的代码和图LealOrder(A);
}

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