图论基础（python蓝桥杯）

图的基本概念

图的种类

怎么存放图呢？

优化

DFS

不是最快/最好的路，但是能找到一条连通的道路。（判断两点之间是不是连通的）

蓝桥3891

import os
import sys
sys.setrecursionlimit(100000)
# 请在此输入您的代码
n, m = map(int, input().split()) # n个点， 小明序号m
G = [[] for _ in range(n + 1)] # 邻接表，存放图。
rudu = [0] * (n + 1) # 记录每个点的入度
vis = [0] * (n + 1) # dfs的标记数组，看是否遍历过
# 二元组，分别表示每个子树数量和编号
dis = [[0, i] for i in range(n + 1)] # 排序用的二元组
for _ in range(n - 1):l, r = map(int, input().split())G[r].append(l) # r是l的父亲rudu[l] += 1
for i in range(1, n + 1):if rudu[i] == 0:root = i # 入度为0的是根节点，找到根节点，从根节点开始遍历。def dfs(u):# 同时记录每个点的子树节点数dis[u][0] = -1 # 1改成-1，以便都从小到大排序vis[u] = 1for v in G[u]:if vis[v] == 0:dfs(v)dis[u][0] += dis[v][0]dfs(root)
dis.sort()
# print(dis)
for i, (x, y) in enumerate(dis, 1): # 取出dis的排名,1的意思是索引从1开始if y == m:print(i)break

BFS

按层次分节点（几步能走的点）

不断这样取，直到终点。

蓝桥1509

import os
import sys# 请在此输入您的代码
from collections import deque
def bfs(s, t):# s起点， t终点。dis = [-1] * 100001queue = deque()# 将起点塞入队列中，打上标记。queue.append(s)dis[s] = 0# 当队列非空while len(queue) != 0:# 取出队首元素uu = queue.popleft()# 判断u是否为终点if u == t:return dis[u]# 将u相连的所有点v，只要v未标记，则打标记，入队列for v in [u - 1, u + 1, u * 2]:# 特判：越界、已标记、障碍物if 0 <= v <= 100000 and dis[v] == -1:queue.append(v)dis[v] = dis[u] + 1return -1
n, k = map(int, input().split())
print(bfs(n, k))

蓝桥3819

import os
import sys# 请在此输入您的代码
from collections import dequedef bfs(x, y, dis):queue = deque()vis = [[0] * m for i in range(n)]# 将起点入队列queue.append([x, y])dis[x][y] = 0vis[x][y] = 1while len(queue) != 0:x, y = queue.popleft()# 要求所有点，这步省略for deltax, deltay in [(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)]:xx, yy = x + deltax, y + deltay# 未越界，未标记，未障碍物if 0 <= xx < n and 0 < yy < m and vis[xx][yy] == 0 and g[xx][yy] != '#':queue.append([xx, yy])dis[xx][yy] = dis[x][y] + 1vis[xx][yy] = 1n, m = map(int, input().split())
INF = 1e9 # 把路堵死了，永远走不到终点。
A, B, C, D = map(int, input().split())
A, B, C, D = A - 1, B - 1, C - 1, D - 1
g = [input() for i in range(n)]
E = int(input())
dis1 = [[INF] * m for i in range(n)]
dis2 = [[INF] * m for i in range(n)]
bfs(A, B, dis1)
bfs(C, D, dis2)
res = dis1[C][D]
if res <= E:print(res)
else:# 枚举所有圣泉res = INFfor i in range(n):for j in range(m):if g[i][j] == 'V':res = min(res, dis1[i][j] + dis2[i][j])if res == INF:print("No")else:# 初始能量为E，总距离res, 后面的res-E需要花费两倍时间，因为需要等待能量恢复print((res - E) * 2 + E)

拓扑排序

拓扑排序是一种针对“有向无环图”的算法，用于解决一些有依赖关系的问题。

拓扑排序保证了处理到某个点时，其所有的入点已经处理过了。

例如下面这个图，拓扑排序可以保证：

处理点2之前，点4和点6都处理过。

处理点3之前，点2和点6都处理过。

比如学大学物理必须先学高数和线性代数。

拓扑排序的顺序并不是唯一的，就刚刚的例子，你可以先学高数再学线代，也可以先学线代再学高数。

下图是拓扑排序的几种可能性

如果有环的话找不到起点，自己想想应该就能想出来。

BFS实现拓扑排序

先预处理每个点的入度，这个在读入边的时候处理。
每次将入度为0的点入队列。
每次取点u的时候，对于从u出发的所有点v的入度-1

1此时的入度为0，相当于做了一个操作，把1->4和1->6的边给删掉了，然后发现4和6的入度又为0了。

在枚举边u->v的时候，可以进行状态转移，于是可以和动态规划结合起来。
这样的dp也叫DAG-DP(有向无环图上的动态规划)
状态转移一般只发生在枚举所有边的时候。

模板

from collections import dequedef topo():q = deque()for i in range(1, n + 1):if ru[i] == 0:q.append(i)ans = []while len(q) != 0:u = q.popleft()ans.append(u)for v in G[u]:ru[v] -= 1if ru[v] == 0:q.append(v)if len(ans) != n:print("no topo")else:print(*ans, sep=' ')

n, m = map(int, input().split())  
G = [[] for i in range(n + 1)]
ru = [0] * (n + 1)
for _ in range(m):u, v = map(int, input().split())G[u].append(v)
topo()

蓝桥1337

import os
import sys# 请在此输入您的代码
from collections import dequedef topo():q = deque()for i in range(1, n + 1):if ru[i] == 0:q.append(i)while len(q) != 0:# 取出队首元素u = q.popleft()# 对于和u相邻的每个点vfor v in G[u]:# 从u走到v,说明dp[v]可以从dp[u] + 1转移过来dp[v] = max(dp[v], dp[u] + 1)ru[v] -= 1if ru[v] == 0:q.append(v)# dp[i] 表示走到i的最长路，也就是最大值。      
n, m = map(int, input().split())
dp = [0] * (n + 1)  
G = [[] for i in range(n + 1)]
ru = [0] * (n + 1)
for _ in range(m):u, v = map(int, input().split())G[u].append(v)
topo()
print(max(dp))

蓝桥3351

import os
import sys
from queue import PriorityQueue
# 请在此输入您的代码def topo():q = PriorityQueue()for i in range(1, n + 1):if ru[i] == 0:q.put(i)ans = []while not q.empty():u = q.get()ans.append(u)for v in G[u]:ru[v] -= 1if ru[v] == 0:q.put(v)if len(ans) != n:print(-1)else:print(*ans, sep=' ')
n, m = map(int, input().split())
G = [[] for i in range(n + 1)]
ru = [0] * (n + 1)
for _ in range(m):u, v = map(int, input().split())G[u].append(v)ru[v] += 1
topo()

Floyd

用于求解多源最短路，可以求解出任意两点的最短路

定义 $dp[k][i][j]$ 为点i到点j路径（除去起点终点）中最大编号不超过k的情况下，点i到点j的最短距离。

当加入第k个点作为i到j的中间点时

$dp[k][i][j]= min(dp[k - 1][i][j],dp[k - 1][i][k]+ dp[k - 1][k][j])$

利用滚动数组优化第一维度

$dp[i][j]= min(dp[i][j],dp[i][k]+ dp[k][j])$

枚举所有k ，判断是否可以作为中间点，可以作为中间点则优化最短路初始化:如果<i,j>无边，则 $dp[i][j] = INF$ ,右边则等于边权;
$dp[i][i]= 0$

蓝桥1121

import os
import sys# 请在此输入您的代码
n, m, q = map(int, input().split())
INF = 1e18 
dp = [[INF] * (n + 1) for i in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):dp[i][i] = 0
for _ in range(m):u, v, w = map(int, input().split())dp[u][v] = dp[v][u] = min(dp[u][v], w)for k in range(1, n + 1):for i in range(1, n + 1):for j in range(1, n + 1):dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j])
for _ in range(q):u, v = map(int, input().split())if dp[u][v] == INF:print(-1)else:print(dp[u][v])

蓝桥8336

import os
import sys# 请在此输入您的代码
n, m = map(int, input().split())
a, p, s = [0] * (n + 1), [0] * (n + 1), [0] * (n + 1)
INF = 1e9
f = [[INF] * (n + 1) for i in range(n + 1)]
g = [[0] *(n + 1) for i in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):a[i], p[i], s[i] = map(int, input().split())
for i in range(1, m + 1):u, v, w = map(int, input().split())f[u][v] = f[v][u] = min(f[u][v], w)
for i in range(1, n + 1):f[i][i] = 0
for k in range(1, n + 1):for i in range(1, n + 1):for j in range(1, n + 1):f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j])
for i in range(1, n + 1):for j in range(1, n + 1):g[i][j] = s[j] - p[i] - f[i][j]
ans = 0
for i in range(1, n + 1):now_ans = 0for j in range(1, n + 1):now_ans = max(now_ans, a[i] * g[i][j])ans += now_ans
print(ans)

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