数据结构——红黑树详解

一、红黑树的定义

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出两倍，因而是接近平衡的。（说它是接近平衡因为它并没有像AVL树的平衡因子的概念，它只是靠着满足红黑节点的5条性质来维持一种接近平衡的结构，进而提升整体的性能）

 红黑树的性质：

1. 每个结点不是红色就是黑色。

2. 根节点是黑色的。

3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的。

4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点。

5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)。

为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

由性质4可知，红黑树的根节点到其叶子结点的所有路径上黑色节点的个数相同，那么一条路径上如果没有红色节点，则该路径为最短路径。

由性质3可知，红黑树的红色节点不连续，那么在一条路径上间隔插入红色节点，则该路径为最长路径。

得出结论：最短路径为全黑色节点，最长路径为一黑一红节点。所以，最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍。最短路径和最长路径可能在一颗红黑树上并不存在，如上图中就不存在最短路径。

二、红黑树的基本操作实现

红黑树同样是二叉查找树的演变，因此红黑树和AVL树一样，查找、遍历操作基本和二叉查找树一样。而红黑树的插入和删除操作与AVL树相比，需要对节点的颜色进行调整，也使用了旋转操作。

红黑树节点定义:

enum Colour {//枚举类型，定义红黑树颜色RED,BLACK
};template<class k,class v>
struct RBTreeNode 
{RBTreeNode<k, v>* _left;RBTreeNode<k, v>* _right;RBTreeNode<k, v>* _parent;pair<k, v> _kv;Colour _col;RBTreeNode(const pair<k, v>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};

红黑树节点的结构与AVL树节点类似，这里用节点的颜色来替换平衡因子。

2.1 红黑树的插入操作

插入中需要用到的节点概念：

  • parent：父亲节点
  • uncle：叔叔节点（ parent 的兄弟节点）
  • grand：祖父节点（ parent 的父节点）

红黑树的节点有颜色之分，那么新插入节点的颜色是红色还是黑色呢？

当插入节点的颜色是黑色，新节点所在路径上的黑色节点个数+1。要保持每条路径上黑色节点个数相同，需要对其他路径一一调整，这样操作是非常繁琐的。

当插入节点的颜色是红色，所有路径上的黑色节点个数均不变。当新节点的父亲是黑色时，插入新节点，依然符合红黑树性质，无需调整。当新节点的父亲是红色时，进行调整。

得出结论：新插入节点默认颜色为红色。

2.1.1 叔叔节点(uncle)存在且为红

新插入节点cur的父亲为黑，插入后依然符合红黑树性质，无需调整。新插入节点cur的父亲为红，并且爷爷节点(grandparent)为黑（红黑树的红色节点不连续），叔叔节点(uncle)存在且为红。

此时对该子树进行操作，将parent节点变为黑色，grandparent节点变为红色，这样就能保证该子树中每条路径中黑色节点相同，并且没有连续的红色节点。然后更新cur、parent节点，parent = cur->_parent，cur=grandparent，沿插入路径向上调整，直到该树中没有连续的红节点。如下图所示：

2.1.2 叔叔节点(uncle)不存在或存在且为黑

新插入节点cur的父亲为红，并且爷爷节点(grandparent)为黑（红黑树的红色节点不连续），叔叔节点(uncle)不存在或存在且为黑。

在插入cur节点前，该树各路径上黑色节点个数已经不同，不满足红黑树的性质。说明cur节点不是新插入的节点，且cur以前是黑色节点，经过第一种情况的颜色调整后，cur节点变为红色。此时需要旋转操作，并更改颜色。这里不对旋转做详细叙述，参考数据结构——AVL树详解-CSDN博客。

右单旋：当parent节点时grandparent节点的右孩子，且cur节点是parent节点的右孩子

旋转后将grandparent节点变为红色，parent变为黑色。

右单旋：当parent节点时grandparent节点的左孩子，且cur节点是parent节点的左孩子

旋转后将grandparent节点变为红色，parent变为黑色。

左右双旋：当parent节点时grandparent节点的左孩子，且cur节点是parent节点的右孩子

旋转后将grandparent节点变为红色，cur变为黑色。 

右左双旋：当parent节点时grandparent节点的右孩子，且cur节点是parent节点的左孩子

旋转后将grandparent节点变为红色，cur变为黑色。  

插入代码实现具体实现如下：

bool Insert(const pair<k, v>& kv){if (_root == nullptr) {_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_kv.first < kv.first) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv); // 在cur位置插入红色节点if (parent->_kv.first < kv.first) {//连接cur节点到红黑树parent->_right = cur;}else {parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;//1：当叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){//变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续向上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{//2：叔叔不存在或者存在且为黑，由第一种情况调整而来//旋转＋变色if (cur == parent->_left){//     g//   p    u// c//此时路径上黑色节点不相同，且有连续的红色节点，不满足最长路径是最短路径的两倍RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else {//     g//   p    u//     cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else{Node* uncle = grandfather->_left;// 情况一：叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){// 变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑// 旋转+变色//      g//   u     p//            cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else {//      g//   u     p//       cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;}

三、红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

2. 检测其是否满足红黑树的性质：根节点是否为黑色，各路径黑色节点个数是否相同，红色节点是否连续出现。

bool IsBalance(){if (_root && _root->_col == RED)return false;int refBlackNum = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK)refBlackNum++;cur = cur->_left;}return Check(_root, 0, refBlackNum);}

先判断根节点，根节点为空或者根节点为红色，直接返回false。按照中序遍历，找到最左路径，遇到黑色节点refBlackNum++,最后得到最左路径的黑色节点个数。调用Check函数，传入根节点和refBlackNum。

bool Check(Node* cur, int blackNum, int refBlackNum){//传blackNum，每次走到黑色节点++，为nullptr回到上一层调用走右子树，此时blackNum还是上一层的值if (cur == nullptr) {if (refBlackNum != blackNum) {cout << "黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}return true;}if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED) {cout << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}if (cur->_col == BLACK)++blackNum;return Check(cur->_left, blackNum, refBlackNum) && Check(cur->_right, blackNum, refBlackNum);
}

当cur==nullptr,说明当前路径已走完，判断这条路径黑色节点个数blackNum是否和refBlackNum（标准值）是否相等。不为空时，判断当前节点是否为红色，如果cur为红色，再判断其父亲是否为红色（&&避免判断根节点的parent）。如果是黑色节点，blackNum++，最后递归左子树与右子树。blackNum为传值，每次遇到黑色节点++，为nullptr回到上一层调用遍历右子树，此时blackNum还是上一层的值。

四、红黑树的模拟实现

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#pragma once
#include<vector>
#include<iostream>
#include<time.h>
using namespace std;enum Colour {//枚举类型，红黑树颜色RED,BLACK
};template<class k,class v>
struct RBTreeNode 
{RBTreeNode<k, v>* _left;RBTreeNode<k, v>* _right;RBTreeNode<k, v>* _parent;pair<k, v> _kv;Colour _col;RBTreeNode(const pair<k, v>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _kv(kv), _col(RED){}
};template<class k,class v>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<k, v> Node;
public:bool Insert(const pair<k, v>& kv){if (_root == nullptr) {_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_kv.first < kv.first) {parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv); // 在cur位置插入红色节点if (parent->_kv.first < kv.first) {//连接cur节点到红黑树parent->_right = cur;}else {parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;//1：当叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){//变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续向上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{//2：叔叔不存在或者存在且为黑，由第一种情况调整而来//旋转＋变色if (cur == parent->_left){//     g//   p    u// c//此时路径上黑色节点不相同，且有连续的红色节点，不满足最长路径是最短路径的两倍RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else {//     g//   p    u//     cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else{Node* uncle = grandfather->_left;// 情况一：叔叔存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){// 变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑// 旋转+变色//      g//   u     p//            cif (cur == parent->_right){RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else {//      g//   u     p//       cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;}void RotateL(Node* parent)//左单旋{++rotateSize;Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL) {subRL->_parent = parent;}subR->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;//记录parent的父节点parent->_parent = subR;if (parent == _root)//考虑parent是该树的根节点{_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}}void RotateR(Node* parent)//右单旋{++rotateSize;Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR) {subLR->_parent = parent;}subL->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}}size_t Size(){return _Size(_root);}size_t _Size(Node* root){if (root == NULL)return 0;return _Size(root->_left)+ _Size(root->_right) + 1;}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << endl;_InOrder(root->_right);}void InOrder(){_InOrder(_root);}int GetRotateSize(){return rotateSize;}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}int Height(){return _Height(_root);}Node* Find(const k& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return NULL;}bool IsBalance(){if (_root && _root->_col == RED)return false;int refBlackNum = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK)refBlackNum++;cur = cur->_left;}return Check(_root, 0, refBlackNum);}bool Check(Node* cur, int blackNum, int refBlackNum){//传blackNum，每次走到黑色节点++，为nullptr回到上一层调用走右子树，此时blackNum还是上一层的值if (cur == nullptr) {if (refBlackNum != blackNum) {cout << "黑色节点的数量不相等" << endl;return false;}return true;}if (cur->_col == RED && cur->_parent->_col == RED) {cout << "存在连续的红色节点" << endl;return false;}if (cur->_col == BLACK)++blackNum;return Check(cur->_left, blackNum, refBlackNum) && Check(cur->_right, blackNum, refBlackNum);
}private:Node* _root = nullptr;int rotateSize = 0;};

五、红黑树和AVL树的比较

  1. AVL树的时间复杂度虽然优于红黑树，但是对于现在的计算机，cpu太快，可以忽略性能差异。
  2. 红黑树的插入删除比AVL树更便于控制操作。
  3. 红黑树整体性能略优于AVL树（红黑树旋转情况少于AVL树）。

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