关于矩阵的摄动。

在研究信号处理算法的过程中,凡是涉及到矩阵求逆的算法(只要包括解线性方程组),都要考虑矩阵的摄动,即受到轻微扰动,矩阵的逆会不会有巨大到不能接受的变化。

为了刻画这种扰动,定义相对于某范数的条件数为K(A)=A的范数✖️A逆的范数。这里的范数是任意一个矩阵范数。

常见的矩阵范数有,矩阵1范数、矩阵2范数、矩阵无穷范数,算子1范数(极大列和范数)、算子2范数(谱范数)、算子无穷范数(极大行和范数)。

其中用来刻画条件数最方便的是算子2范数。在信号处理中,宽平稳信号的自相关矩阵是Toeplitz矩阵,那么也是正规矩阵。在算子2范数意义下,K(A)=最大特征值/最小特征值。其中小特征值往往对应了噪声功率,当信噪比很大的时候,即条件数很大,稍有扰动,就会让逆矩阵发生很大摄动,导致处理结果不理想,从而得到信噪比越大,效果越差的荒谬的结论。因此当条件数很大的时候,需要做预处理,比如对角加载技术(说白了就是在特征值上加一个p,当然这个量的选取不能太大也不能太小)。

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