LeetCode-894. 所有可能的真二叉树【树递归记忆化搜索动态规划二叉树】

题目描述：
解题思路一：分治，递归
解题思路二：动态规划。关键思路是如果构造节点数目为 n 的真二叉树，此时可以从节点数目序列为 [(1,n−2),(3,n−5),⋯ ,(n−2,1)]的真二叉树中构成，按照所有可能的组合数进行枚举，即可构造成节点数目为 n 的真二叉树。即左子树分配1,3,5, ... , n-2个节点。
解题思路三：0

题目描述：

给你一个整数 n ，请你找出所有可能含 n 个节点的真二叉树，并以列表形式返回。答案中每棵树的每个节点都必须符合 Node.val == 0 。

答案的每个元素都是一棵真二叉树的根节点。你可以按任意顺序返回最终的真二叉树列表。

真二叉树是一类二叉树，树中每个节点恰好有 0 或 2 个子节点。

示例 1：
在这里插入图片描述
输入：n = 7
输出：[[0,0,0,null,null,0,0,null,null,0,0],[0,0,0,null,null,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,0,0],[0,0,0,0,0,null,null,null,null,0,0],[0,0,0,0,0,null,null,0,0]]
示例 2：

输入：n = 3
输出：[[0,0,0]]

提示：

1 <= n <= 20

解题思路一：分治，递归

如果你要为某节点分配一个左节点，那么一定也要为它分配一个右节点。因此，如果 N 为偶数，那一定无法构成一棵满二叉树。

为了列出所有满二叉树的排列，我们可以为左子树分配 x 节点，为右子树分配 N - 1 - x（其中减 1 减去的是根节点）节点，然后递归地构造左右子树。

x 的数目从 1 开始，每次循环递增数目 2（多增加 2 个节点，等于多增加 1 层）。

递归过程
递归最关心的两个问题是：

结束条件
自身调用

对于这个问题来说，结束条件为：

当 N 为偶数时：无法构造满二叉树，返回空数组
当 N == 1 时：树只有一个节点，直接返回包含这个节点的数组
当完成 N 个节点满二叉树构造时：返回结果数组
当需要构造左右子树时，就进行自身调用。具体的看代码吧~

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:def allPossibleFBT(self, n: int) -> List[Optional[TreeNode]]:res = []if n == 1:return [TreeNode(0)]if n % 2 == 0: # 结点个数必须是奇数return []left_num = 1 # 左子树分配一个节点right_num = n - 2 # 此时n必大于等于3， 右子树可以分配到 n - 1 - 1 = n - 2 个节点while right_num > 0:left_tree = self.allPossibleFBT(left_num) # 递归构造左子树right_tree = self.allPossibleFBT(right_num) # 递归构造右子树# 具体构造过程for i in range(len(left_tree)):for j in range(len(right_tree)):root = TreeNode(0)root.left = left_tree[i]root.right = right_tree[j]res.append(root) # 注意返回的是树的根节点left_num += 2right_num -= 2return res

时间复杂度：O(2ⁿ / $\sqrt n$ )
空间复杂度：O(n) 递归调用栈

解题思路二：动态规划。关键思路是如果构造节点数目为 n 的真二叉树，此时可以从节点数目序列为 [(1,n−2),(3,n−5),⋯ ,(n−2,1)]的真二叉树中构成，按照所有可能的组合数进行枚举，即可构造成节点数目为 n 的真二叉树。即左子树分配1,3,5, … , n-2个节点。

动规五部曲：定推初遍举

dp定义：所有可能含 n 个节点的 真二叉树
推导：dp[n] = 节点数目序列为 [(1,n−2),(3,n−5),⋯ ,(n−2,1)]的真二叉树中构成
初始化：dp[1] = [TreeNode(0)]
遍历：按照推导公式来for i in range(3, n + 1, 2): for j in range(1, i, 2):
举例：注意dp[i]是一个列表

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:def allPossibleFBT(self, n: int) -> List[Optional[TreeNode]]:if n % 2 == 0: # 结点个数必须是奇数return []dp = [[] for _ in range(n+1)]dp[1] = [TreeNode(0)]for i in range(3, n + 1, 2):for j in range(1, i, 2):for left_tree in dp[j]:for right_tree in dp[i - 1 - j]:root = TreeNode(0, left_tree, right_tree)dp[i].append(root)return dp[n]