acwing算法提高之图论--floyd算法及其扩展应用

1 介绍

本专题介绍使用floyd算法求解的题目。

使用floyd算法，可以求解如下问题：

最短路。
传递闭包。
找图中的距离总和最小的环路。
求恰好经过k条边的最短路。

floyd算法的原理讲解：基于动态规划。

状态表示d[k,i,j]：(1)集合：所有从i出发，最终走到j，且中间只经过结点编号不超过k的所有路径。(2)属性：路径长度的最小值。

状态计算：(1)所有不含结点k的路径，即d[k-1,i,j]。(2)所有包含结点k的路径，即d[k-1,i,k] + d[k-1,k,j]。

状态转移为：d[k,i,j] = min(d[k-1,i,j], d[k-1,i,k] + d[k-1,k,j])

考虑优化掉第一维状态之后，有，

for (int k = 0; k < n; ++k) {for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < n; ++j) {d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);}}
}

2 训练

题目1：1125牛的旅行

C++代码如下，

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>#define x first
#define y secondusing namespace std;typedef pair<double, double> PDD;const int N = 155;
const double INF = 1e20;int n;
PDD q[N];
double d[N][N];
double maxd[N];
char g[N][N];double get_dist(PDD a, PDD b) {double dx = a.x - b.x;double dy = a.y - b.y;return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}int main() {cin >> n;for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> q[i].x >> q[i].y;for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> g[i];for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < n; ++j) {if (i == j) d[i][j] = 0;else if (g[i][j] == '1') d[i][j] = get_dist(q[i], q[j]);else d[i][j] = INF;}}for (int k = 0; k < n; ++k) {for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < n; ++j) {d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);}}}double r1 = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < n; ++j) {if (d[i][j] < INF) {maxd[i] = max(maxd[i], d[i][j]);}}r1 = max(r1, maxd[i]);}double r2 = INF;for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int j = 0; j < n; ++j) {if (d[i][j] >= INF) {r2 = min(r2, maxd[i] + maxd[j] + get_dist(q[i], q[j]));}}}printf("%.6lf\n", max(r1, r2));return 0;
}