1. 提出问题

   在复分析中，出现一个概念“entire function”,在汉译的一些数学资料和一些数学术语辞典中，将这个术语译为“整函数”。为什么这样翻译?只因“entire”这个单词具有“整体、完全”的词义。但这样翻译是非常不严谨的，也没有体现出这个“整”在数学中的含义，更让学习者困惑，这个“整”到底体现在哪里？如果这样翻译不能达意，那为什么不能译为一个可以达意的汉语词？其实，这个问题是数学学科英译汉的通病，很多数学术语英译汉后不能传意，甚至是一种错误的翻译，给学习者带来了长期的困惑。下面就针对这个问题，从英语词汇词源的角度，再结合其引入到数学中的含义，进行一些合理的分析。

2. 关于单词“integral”和“entire”的词源

2.1  单词“integral”的词源

    单词“integral”具有名词和形容词词性。始于15世纪晚期，词义为“of or pertaining to a whole; intrinsic, belonging as a part to a whole(关于或属于一个整体的；固有的，作为一个部分归属于一个整体的),” 来自于14世纪的古法语“intégral”，派生于中古时期拉丁词“integralis”(词义为“forming a whole(构成一个整体))”,派生于拉丁词“integer ”(词义为“whole(整体)”)。而“integer ”由前缀“in-”(not) + “tangere”(词义为“to touch(触碰)”)的词根构成(合起来是“不可触碰”，词义“整体”应为其引申义“不可分”)，本词在英语中早期用作拉丁意义上的形容词(词义为“whole,entire(整体，完全)”)。单词“entire”的双式词(同源词)(doublet)。

2.2  单词“entire”的词源

    单词“entire”具有名词和形容词词性。始于14世纪中期，词义为“whole,intact(整体的，完整的)，” 来自古法语“entier”,词义为“whole, unbroken, intact, complete (整体的，不可分的，完整的，完全的)，” 派生自拉丁语“integrum”(词义为“completeness(完整)”)，其主格为“integer ”。 单词“integral”的双式词(同源词) (doublet)。

2.3  单词“integral”和“entire”的关系

    从以上词源可以看出，这两个词是同源词(又称双联词，双式词)。在“完整，整体”等的意义上，这两个词是同义词，可以互换使用。同一个词义出现不同的拼法，这是语言的共性，汉语是这样(比如，“偷”和“窃”)，英语也是这样(比如，“toll”和“total”)。其目的都是为了在表达同样的词义时区分出不同的语境场合。

3. “integral”和“entire”在数学中的含义

    “integral”在数学微积分中用作名词时表示“积分”，用作形容词时表示“可积的”或“可积”。这个大家平时都比较常见，特别是在实变量微积分中通用。所谓“积分”就是“构成整体”，从字面意义上讲就是“将微分后算出的乘积累积起来(累加起来，乘积也是加法的一种体现)”，这个翻译基本上达意的。

    但是“entire”一词一般出现在复分析中，在本科课程中较为少见，并且也没有特别的说明，因此容易引起困惑。这个词出现在复分析中，虽然鲜有资料作明确说明，但是从表达来看，大概也是为了区分实分析和复分析的可积性，类似的情况有很多，比如为了区分实分析的解析性和复分析的解析性，称复分析的解析函数为全纯函数，因为它们的要求不同。因此，在不致引起混淆的情况下，可以直接将“entire”译成“可积”。如果在容易引起混淆的语境中同时出现两词，可视情况将“integral”译为“实可积”，将“entire”译为“复可积”。因此，一些汉词将“entire”译为“整的”，将“entire function”译为“整函数”，并且又加说明，确实是以讹传讹，非常误导学习者，使学习者困惑。

4. 什么是整函数(复可积函数)？

(说明：为了便了学习者搜索到文章，这个标题仍然使用整函数译名，在文中使用复可积名称。)

    在复分析中，一个复可积函数(entire function)(又称为“integral function”)是一个在整个(whole)复平面上全纯的复数值函数(译注：在“整个”平面上可积，或许这是一个双关语，在这个意义上也体现了“整”的意思)。典型的复可积函数是多项式函数和指数函数，以及这两类函数的任意有限和、积、以及复合，例如，三角函数sine和cosine和它们的双曲对应函数sinh和cosh，以及复可积函数的积分和积分函数(例如，误差函数(error function))。如果一个复可积函数 f(z)在 w 处有一个根，则 f (z)/( z - w )(在 w 处取极限值)也是一个复可积函数。在另一方面，自然对数，互反函数(reciprocal function)和平方根函数(square root)都不是复可积函数。超越复可积函数(transcendental entire function)是一个非多项式的复可积函数。

    正如亚纯函数可以被视为比率分式(Rational Fractions)的推广一样，复可积函数也可以被视为多项式函数的推广。特别是，如果对于亚纯函数，我们可以将因式分解推广到简单分式(亚纯函数分解的 Mittag-Leffler定理)，那么对于复可积函数，就存在因式分解的推广——复可积函数的 Weierstrass 定理。

    令Ω为上 ℂ 的一个开集，并令 f 为 Ω 上的一个复数值函数。若函数 f 在 Ω 的任意点都是全纯的，则称 f 是Ω上的全纯函数。若 C 是 ℂ 的闭合子集，若 f 在某些包含 C 的开集上是全纯的，则称f在C上是全纯的。最后，若f在整个ℂ上是全纯的，则我们称f是复可积函数(entire function)。