实现代码：C++

实现方法：通过递推法、递归法、矩阵快速幂方法

适用：

范围小且单次查询时，可以不用记忆化处理。

范围大或多次查询时，应使用记忆化处理。

时间复杂度：

递归法：O(n^2)-->递推法(动态规划)：O(n)-->矩阵快速幂：O(nlgn)-->斐波那契数列公式：O(1)

目录

递推法：

递推法+记忆化：

递归法：

递归法+记忆化：

矩阵快速幂方法：

 斐波那契通项公式：

递推法：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n;int x = 0;int y = 1;int ans;cin >> n;if(n == 0)ans = 0;else if(n = 1)ans = 1;else {for(int i = 2;i <= n;++ i){ans = x + y;x = y;y = ans;}}cout << ans << endl;return 0;
}

递推法+记忆化：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>f;int main()
{int n;cin >> n;f.push_back(0);f.push_back(1);for(int i = 2;i <= n;++ i){f.push_back(f[i-1]+f[i-2]);}for(int i = 1;i <= n;++ i){cout << f[i] << endl;}return 0;
}

递归法：

#include <iostream>using namespace std;int fn(int n){//递归出口1if(n==0)return 0;//递归出口2else if(n==1 )return 1;elsereturn fn(n-1)+fn(n-2); }int main(){int n; int ans;cin>>n;ans=fn(n);cout<<ans<<endl;}

递归法+记忆化：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const ll p = 1e9 + 7;
const int inf = 1e9,N = 1e5 + 3;
ll dp[N];ll f(int n)
{if(n <= 2)return 1;if(dp[n] != -1)return dp[n];return dp[n] = (f(n - 1) + f(n - 2)) % p;
}int main()
{memset(dp,-1,sizeof dp);int n;cin >> n;cout << f(n) << endl;return 0;
}

矩阵快速幂方法：

//计算斐波那契数列有很多种方法,而当阶数N很大时,矩阵快速幂算法是最佳的 
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef unsigned long long ull;const int mod=1e9+7;class Matrix//矩阵类 
{
public:int row,col;//row为矩阵的行数,col为矩阵的列数 ull matrix[5][5];//矩阵 Matrix(int r=2,int c=2,int tag=0)//构造函数 {row=r;col=c;memset(matrix,0,sizeof(matrix));if(tag)//若传入tag为非0,则初始化为单位矩阵 {for(int i=0;i<min(r,c);i++){matrix[i][i]=1;//对角线元素初始化为1 }    }    }        
};Matrix operator *(Matrix m1,Matrix m2)//矩阵乘法,返回结果矩阵 
{Matrix ans;//构造一个2行2列的矩阵,初始化均为0 memset(ans.matrix,0,sizeof(ans.matrix));for(int i=0;i<m1.row;i++)//遍历第一个矩阵的每一行 {for(int j=0;j<m2.col;j++)//遍历第二个矩阵的每一列 {for(int k=0;k<m1.col;k++)//第一个矩阵的行与第二个矩阵的列一一对应相乘再相加 {ull tmp=m1.matrix[i][k]*m2.matrix[k][j]%mod; ans.matrix[i][j]=(ans.matrix[i][j]+tmp)%mod;}}}return ans;
}Matrix matrix_mul(Matrix m,ull power)//矩阵快速幂,求解矩阵m的power次幂 
//原理与普通快速幂相同,重载了矩阵相乘的函数之后可直接套用普通快速幂算法 
{Matrix ans(2,2,1);//初始化为单位矩阵 while(power){    if(power&1){ans=ans*m;power--;}power=power>>1;m=m*m;}return ans;
}ull F(Matrix M,ull n)//计算N阶斐波那契数列 
{Matrix ans=matrix_mul(M,n);//计算矩阵M的N次幂 return ans.matrix[1][0];//取其右下角元素即为最终答案 
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);int T;cin>>T;Matrix M(2,2,0);//构造一个矩阵为{ {1,1} , {1,0} } //N阶斐波那契数列等于该矩阵的N次幂的右上角/左下角元素 M.matrix[0][0]=M.matrix[0][1]=1;M.matrix[1][0]=1;M.matrix[1][1]=0;while(T--){ull N;cin>>N;cout<<F(M,N)<<endl;}return 0;
}

 斐波那契通项公式：