需要添加的硬币的最小数量

题目要求：

解题思路

为方便描述，把 0 也算作可以得到的数。

假设现在得到了区间 $[0,s-1]$ 中的所有整数，如果此时遍历到整数 $x=coins[i]$，那么把 $[0,s-1]$ 中的每个整数都增加 $x$，我们就得到了区间 $[x,s+x-1]$ 中的所有整数。

思路
把 $coins$ 从小到大排序，遍历 $x=coins[i]$。分类讨论，看是否要添加数字：

• 如果 $x\le s$，那么合并 $[0,s-1]$ 和 $[x,s+x-1]$ 这两个区间，我们可以得到 $[0,s+x-1]$ 中的所有整数。
• 如果 $x>s$，或者遍历完了 $coins$ 数组，这意味着我们无法得到 $s$，那么就一定要把 $s$ 加到数组中（加一个比 $s$ 还小的数字就没法得到更大的数，不够贪），这样就可以得到了 $[s,2s-1]$ 中的所有整数，再与 $[0,s-1]$ 合并，可以得到 $[0,2s-1]$ 中的所有整数。然后再考虑 $x$ 和 $2s$ 的大小关系，继续分类讨论。

当 $s>targets$时，我们就得到了 $[1,target]$ 中的所有整数，退出循环。

代码

class Solution:def minimumAddedCoins(self, coins: List[int], target: int) -> int:coins.sort()ans, s, i = 0,1,0while s<= target:if i<len(coins) and coins[i]<=s:s += coins[i]i+=1else:s *= 2ans +=1return ans

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(nlogn+logtarget)$，其中 $n$ 为 $coins$ 的长度。$s$ 至多翻倍 $O(logtarget)$ 次。瓶颈主要在排序上。
  空间复杂度：$O(1)$。忽略排序的栈开销。

参考

灵茶山艾府