图

图（graph）是一种非线性数据结构，由顶点（vertex）和边（edge）组成。可以将图 𝐺 抽象地表示为一组顶点 𝑉 和一组边 𝐸 的集合。

如果将顶点看作节点，将边看作连接各个节点的引用（指针），就可以将图看作一种从链表拓展而来的数据结构。
相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，因而更为复杂。

图的常见类型与术语

根据边是否具有方向，可分为无向图和有向图。
在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系；
在有向图中，边具有方向性，即 𝐴 → 𝐵 和 𝐴 ← 𝐵 两个方向的边是相互独立的。

根据所有顶点是否连通，可分为连通图和非连通图

还可以为边添加“权重”变量，从而得到有权图。

图数据结构包含以下常用术语：
邻接（adjacency）：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。
路径（path）：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。
度（degree）：一个顶点拥有的边数。

图的表示

邻接矩阵

设图的顶点数量为 𝑛 ，邻接矩阵 使用一个 𝑛 × 𝑛 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 1 或 0 表示两个顶点之间是否存在边。

设邻接矩阵为 𝑀、顶点列表为 𝑉 ，那么矩阵元素 𝑀[𝑖, 𝑗] = 1 表示顶点 𝑉 [𝑖] 到顶点 𝑉 [𝑗] 之间存在边，反之 𝑀[𝑖, 𝑗] = 0 表示两顶点之间无边。

邻接矩阵具有以下特性：
1.顶点不能与自身相连，因此邻接矩阵主对角线元素没有意义；
2.对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称；
3.将邻接矩阵的元素从 1 和 0 替换为权重，则可表示有权图。

使用邻接矩阵表示图时，可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查改操作的效率很高，时间复杂度均为 𝑂(1) 。然而，矩阵的空间复杂度为 𝑂(𝑛^2) ，内存占用较多。

邻接表

邻接表使用 𝑛 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 𝑖 个链表对应顶点 𝑖 ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（与该顶点相连的顶点）。

邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 𝑛^2 ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。

邻接表结构与哈希表中的“链式地址”非常相似，因此也可以采用类似的方法来优化效率。比如当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 𝑂(𝑛) 优化至 𝑂(log 𝑛) ；还可以把链表转换为哈希表，从而将时间复杂度降至 𝑂(1) 。

图的常见应用

图的基础操作

图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。
在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下，实现方式有所不同。

基于邻接矩阵的实现

给定一个顶点数量为 𝑛 的无向图：

添加或删除边： 直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 𝑂(1) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
添加顶点： 在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 0 即可，使用 𝑂(𝑛) 时间。
删除顶点： 在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 (𝑛 − 1)^ 2 个元素“向左上移动”，从而使用 𝑂(𝑛^2) 时间。
初始化： 传入 𝑛 个顶点，初始化长度为 𝑛 的顶点列表 vertices ，使用 𝑂(𝑛) 时间；初始化 𝑛 × 𝑛 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 𝑂(𝑛^2) 时间。

/*** File: graph_adjacency_matrix.cpp* Created Time: 2023-02-09* Author: what-is-me (whatisme@outlook.jp)*/#include "../utils/common.hpp"/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {vector<int> vertices;       // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”vector<vector<int>> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”public:/* 构造方法 */GraphAdjMat(const vector<int> &vertices, const vector<vector<int>> &edges) {// 添加顶点for (int val : vertices) {addVertex(val);}// 添加边// 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引for (const vector<int> &edge : edges) {addEdge(edge[0], edge[1]);}}/* 获取顶点数量 */int size() const {return vertices.size();}/* 添加顶点 */void addVertex(int val) {int n = size();// 向顶点列表中添加新顶点的值vertices.push_back(val);// 在邻接矩阵中添加一行adjMat.emplace_back(vector<int>(n, 0));// 在邻接矩阵中添加一列for (vector<int> &row : adjMat) {row.push_back(0);}}/* 删除顶点 */void removeVertex(int index) {if (index >= size()) {throw out_of_range("顶点不存在");}// 在顶点列表中移除索引 index 的顶点vertices.erase(vertices.begin() + index);// 在邻接矩阵中删除索引 index 的行adjMat.erase(adjMat.begin() + index);// 在邻接矩阵中删除索引 index 的列for (vector<int> &row : adjMat) {row.erase(row.begin() + index);}}/* 添加边 */// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引void addEdge(int i, int j) {// 索引越界与相等处理if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {throw out_of_range("顶点不存在");}// 在无向图中，邻接矩阵关于主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)adjMat[i][j] = 1;adjMat[j][i] = 1;}/* 删除边 */// 参数 i, j 对应 vertices 元素索引void removeEdge(int i, int j) {// 索引越界与相等处理if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {throw out_of_range("顶点不存在");}adjMat[i][j] = 0;adjMat[j][i] = 0;}/* 打印邻接矩阵 */void print() {cout << "顶点列表 = ";printVector(vertices);cout << "邻接矩阵 =" << endl;printVectorMatrix(adjMat);}
};/* Driver Code */
int main() {/* 初始化无向图 */// 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引vector<int> vertices = {1, 3, 2, 5, 4};vector<vector<int>> edges = {{0, 1}, {0, 3}, {1, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}};GraphAdjMat graph(vertices, edges);cout << "\n初始化后，图为" << endl;graph.print();/* 添加边 */// 顶点 1, 2 的索引分别为 0, 2graph.addEdge(0, 2);cout << "\n添加边 1-2 后，图为" << endl;graph.print();/* 删除边 */// 顶点 1, 3 的索引分别为 0, 1graph.removeEdge(0, 1);cout << "\n删除边 1-3 后，图为" << endl;graph.print();/* 添加顶点 */graph.addVertex(6);cout << "\n添加顶点 6 后，图为" << endl;graph.print();/* 删除顶点 */// 顶点 3 的索引为 1graph.removeVertex(1);cout << "\n删除顶点 3 后，图为" << endl;graph.print();return 0;
}

基于邻接表的实现

设无向图的顶点总数为 𝑛、边总数为 m
添加边： 在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 𝑂(1) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
删除边： 在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 𝑂(𝑚) 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
添加顶点： 在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 𝑂(1) 时间。
删除顶点： 需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 𝑂(𝑛 + 𝑚) 时间。
初始化： 在邻接表中创建 𝑛 个顶点和 2𝑚 条边，使用 𝑂(𝑛 + 𝑚) 时间。

以下是邻接表的代码实现。实际代码有以下不同:
1.为了方便添加与删除顶点，以及简化代码，使用列表（动态数组）来代替链表。
2.使用哈希表来存储邻接表，key 为顶点实例，value 为该顶点的邻接顶点列表（链表）。

另外，在邻接表中使用 Vertex 类来表示顶点，这样做的原因是：如果与邻接矩阵一样，用列表索引来区分不同顶点，那么假设要删除索引为 𝑖 的顶点，则需遍历整个邻接表，将所有大于 𝑖 的索引全部减 1 ，效率很低。而如果每个顶点都是唯一的 Vertex 实例，删除某一顶点之后就无须改动其他顶点了。

/*** File: graph_adjacency_list.cpp* Created Time: 2023-02-09* Author: what-is-me (whatisme@outlook.jp), Krahets (krahets@163.com)*/#include "../utils/common.hpp"/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {public:// 邻接表，key：顶点，value：该顶点的所有邻接顶点unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList;/* 在 vector 中删除指定节点 */void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) {for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {if (vec[i] == vet) {vec.erase(vec.begin() + i);break;}}}/* 构造方法 */GraphAdjList(const vector<vector<Vertex *>> &edges) {// 添加所有顶点和边for (const vector<Vertex *> &edge : edges) {addVertex(edge[0]);addVertex(edge[1]);addEdge(edge[0], edge[1]);}}/* 获取顶点数量 */int size() {return adjList.size();}/* 添加边 */void addEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2)throw invalid_argument("不存在顶点");// 添加边 vet1 - vet2adjList[vet1].push_back(vet2);adjList[vet2].push_back(vet1);}/* 删除边 */void removeEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2)throw invalid_argument("不存在顶点");// 删除边 vet1 - vet2remove(adjList[vet1], vet2);remove(adjList[vet2], vet1);}/* 添加顶点 */void addVertex(Vertex *vet) {if (adjList.count(vet))return;// 在邻接表中添加一个新链表adjList[vet] = vector<Vertex *>();}/* 删除顶点 */void removeVertex(Vertex *vet) {if (!adjList.count(vet))throw invalid_argument("不存在顶点");// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表adjList.erase(vet);// 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边for (auto &adj : adjList) {remove(adj.second, vet);}}/* 打印邻接表 */void print() {cout << "邻接表 =" << endl;for (auto &adj : adjList) {const auto &key = adj.first;const auto &vec = adj.second;cout << key->val << ": ";printVector(vetsToVals(vec));}}
};

效率对比

从表上看似乎邻接表（哈希表）的时间效率与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。

图的遍历

树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，可以把树看作图的一种特例。显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例。

图的遍历方式也可分为两种：广度优先遍历和深度优先遍历。

广度优先遍历

广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张。

从左上角顶点出发，首先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。

算法实现

BFS 通常借助队列来实现，代码如下所示。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
1.将遍历起始顶点 startVet 加入队列，并开启循环；
2.在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
3.循环步骤 2. ，直到所有顶点被访问完毕后结束。
为了防止重复遍历顶点，需要借助一个哈希表 visited 来记录哪些节点已被访问。

/*** File: graph_bfs.cpp* Created Time: 2023-03-02* Author: Krahets (krahets@163.com)*/#include "../utils/common.hpp"
#include "./graph_adjacency_list.cpp"/* 广度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {// 顶点遍历序列vector<Vertex *> res;// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点unordered_set<Vertex *> visited = {startVet};// 队列用于实现 BFSqueue<Vertex *> que;que.push(startVet);// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点while (!que.empty()) {Vertex *vet = que.front();que.pop();          // 队首顶点出队res.push_back(vet); // 记录访问顶点// 遍历该顶点的所有邻接顶点for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {if (visited.count(adjVet))continue;            // 跳过已被访问的顶点que.push(adjVet);        // 只入队未访问的顶点visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问}}// 返回顶点遍历序列return res;
}/* Driver Code */
int main() {/* 初始化无向图 */vector<Vertex *> v = valsToVets({0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9});vector<vector<Vertex *>> edges = {{v[0], v[1]}, {v[0], v[3]}, {v[1], v[2]}, {v[1], v[4]},{v[2], v[5]}, {v[3], v[4]}, {v[3], v[6]}, {v[4], v[5]},{v[4], v[7]}, {v[5], v[8]}, {v[6], v[7]}, {v[7], v[8]}};GraphAdjList graph(edges);cout << "\n初始化后，图为\\n";graph.print();/* 广度优先遍历 */vector<Vertex *> res = graphBFS(graph, v[0]);cout << "\n广度优先遍历（BFS）顶点序列为" << endl;printVector(vetsToVals(res));// 释放内存for (Vertex *vet : v) {delete vet;}return 0;
}

广度优先遍历的序列并不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，而多个相同距离的顶点的遍历顺序允许被任意打乱。

复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会入队并出队一次，使用 𝑂(|𝑉 |) 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 2 次，使用 𝑂(2|𝐸|) 时间；总体使用 𝑂(|𝑉 | + |𝐸|) 时间。
空间复杂度：列表 res ，哈希表 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 |𝑉 | ，使用 𝑂(|𝑉 |) 空间。

深度优先遍历

深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍完成。

算法实现

这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中，也需要借助一个哈希表 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

/*** File: graph_dfs.cpp* Created Time: 2023-03-02* Author: Krahets (krahets@163.com)*/#include "../utils/common.hpp"
#include "./graph_adjacency_list.cpp"/* 深度优先遍历辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList &graph, unordered_set<Vertex *> &visited, vector<Vertex *> &res, Vertex *vet) {res.push_back(vet);   // 记录访问顶点visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问// 遍历该顶点的所有邻接顶点for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {if (visited.count(adjVet))continue; // 跳过已被访问的顶点// 递归访问邻接顶点dfs(graph, visited, res, adjVet);}
}/* 深度优先遍历 */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex *> graphDFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {// 顶点遍历序列vector<Vertex *> res;// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点unordered_set<Vertex *> visited;dfs(graph, visited, res, startVet);return res;
}/* Driver Code */
int main() {/* 初始化无向图 */vector<Vertex *> v = valsToVets(vector<int>{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6});vector<vector<Vertex *>> edges = {{v[0], v[1]}, {v[0], v[3]}, {v[1], v[2]},{v[2], v[5]}, {v[4], v[5]}, {v[5], v[6]}};GraphAdjList graph(edges);cout << "\n初始化后，图为" << endl;graph.print();/* 深度优先遍历 */vector<Vertex *> res = graphDFS(graph, v[0]);cout << "\n深度优先遍历（DFS）顶点序列为" << endl;printVector(vetsToVals(res));// 释放内存for (Vertex *vet : v) {delete vet;}return 0;
}

直虚线代表向下递推，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点；
曲虚线代表向上回溯，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此方法的位置。

深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。
以树的遍历为例，“根 → 左 → 右”“左 → 根 → 右”“左 → 右 → 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。

复杂度分析

时间复杂度：所有顶点都会被访问 1 次，使用 𝑂(|𝑉 |) 时间；所有边都会被访问 2 次，使用 𝑂(2|𝐸|) 时间；总体使用 𝑂(|𝑉 | + |𝐸|) 时间。
空间复杂度：列表 res ，哈希表 visited 顶点数量最多为 |𝑉 | ，递归深度最大为 |𝑉 | ，因此使用 𝑂(|𝑉 |) 空间。

学习地址

学习地址：https://github.com/krahets/hello-algo
重新复习数据结构，所有的内容都来自这里。