无穷级数几个基础知识

问题:

  1. 级数敛散性和积分敛散性的区别联系是什么?
  2. 学习的目的是什么?最重要的目的是什么?

主要内容。

  1. 部分和

s = ∑ i = 1 n u i s = \sum_{i=1}^{n} u _{i} s=i=1nui

注意:部分和不是数列的一部分之和,而是一个极限的概念,此处的n是一个极限值, n 趋于正无穷! \color{red}n趋于正无穷! n趋于正无穷!一定要注意。

  1. 调和级数

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + . . . + 1 n − 2 + 1 n − 1 + 1 n (1.2) 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +\frac{1}{4} +\frac{1}{5} +... + \frac{1}{n-2} + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} \tag{1.2} 1+21+31+41+51+...+n21+n11+n1(1.2)

调和级数可以化为如下积分式:

∫ 1 + ∞ 1 x d x = ln ⁡ x ∣ 1 + ∞ = ∞ ( 此处是错误的 ) \color{red}\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x}dx = \ln x |_{1}^{+\infty} = \infty \tag{\color{red}此处是错误的} 1+x1dx=lnx1+=(此处是错误的)

可见调和级数发散。

调和级数可以华为如下积分形式:

1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n − 1 + 1 n = 1 n ( 1 1 n + 1 2 n + 1 3 n + . . . + 1 n − 1 n + 1 n n ) = 1 n ( 1 n n + 1 n − 1 n + . . . + 1 3 n + 1 2 n + 1 1 n ) = ∫ 0 1 1 x d x = ln ⁡ x ∣ 0 1 = ∞ ( 此处是正确的 ) \color{red}1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} +...+\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} =\\ \frac{1}{n}(\frac{1}{\frac{1}{n}} + \frac{1}{\frac{2}{n}} + \frac{1}{\frac{3}{n}} +...+\frac{1}{\frac{n-1}{n}} + \frac{1}{\frac{n}{n}} ) =\\ \frac{1}{n}(\frac{1}{\frac{n}{n}} +\frac{1}{\frac{n-1}{n}} + ...+\frac{1}{\frac{3}{n}} +\frac{1}{\frac{2}{n}} + \frac{1}{\frac{1}{n}} ) =\\ \int_{0}^{1} \frac{1}{x}dx = \ln x |_{0}^{1} = \infty \tag{\color{red}此处是正确的} 1+21+31+...+n11+n1=n1(n11+n21+n31+...+nn11+nn1)=n1(nn1+nn11+...+n31+n21+n11)=01x1dx=lnx01=(此处是正确的)

调和级数是一个重要级数,是判断其他级数收敛的参考。若一个级数大于调和级数,则必定发散,若一个级数是调和级数的无穷小,则一定收敛。

  1. 级数收敛的必要非充分条件

若级数 ∑ i = 1 + ∞ u i \sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} i=1+ui收敛,则一般项 u i u_{i} ui的极限为0。

此条件是级数收敛的必要条件而非充分条件。比如调和级数的一般项为0但是并不收敛。
同时,若级数的一般项不是 0 ,则级数必发散。 \color{green}同时,若级数的一般项不是0,则级数必发散。 同时,若级数的一般项不是0,则级数必发散。此结论可以证明。

  1. 达朗贝尔判别法

正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim ⁡ i → + ∞ u i + 1 u i > 1 则级数发散 若 lim ⁡ i → + ∞ u i + 1 u i < 1 则级数收敛 若 lim ⁡ i → + ∞ u i + 1 u i = 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} > 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} < 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =1则无法判别敛散性 正向级数i=1+uii+limuiui+1>1则级数发散i+limuiui+1<1则级数收敛i+limuiui+1=1则无法判别敛散性

证明:
(1)若 lim ⁡ i → + ∞ u i + 1 u i = ρ > 1 , 即 u i + 1 > u i , 即 u i + 1 = k u i , k > 1 \lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =\rho >1, 即u_{i+1} >u_{i}, 即u_{i+1} = ku_{i},k> 1 limi+uiui+1=ρ>1,ui+1>ui,ui+1=kui,k>1

(2)若 lim ⁡ i → + ∞ u i + 1 u i = ρ < 1 , 即 u i + 1 < u i , 即 u i + 1 = k u i , k < 1 \lim_{i \to +\infty} \frac{u_{i+1}}{u_{i}} =\rho <1, 即u_{i+1} <u_{i}, 即u_{i+1} = ku_{i},k < 1 limi+uiui+1=ρ<1,ui+1<ui,ui+1=kui,k<1

通过考察等比数列(几何级数)的求和公式: a 1 1 − q n 1 − q a_{1}\frac{1-q^{n}}{1- q} a11q1qn
当公比q大于1时,几何级数发散,当q小于1时几何级数收敛于 a 1 1 1 − q a_{1} \frac{1}{1-q} a11q1

故达朗贝尔判别法得证。

  1. 柯西判别法

正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim ⁡ i → + ∞ n n > 1 则级数发散 若 lim ⁡ i → + ∞ n n < 1 则级数收敛 若 lim ⁡ i → + ∞ n n = 1 则无法判别敛散性 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} \sqrt [n] n> 1则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty}\sqrt [n] n < 1则级数收敛\\ 若\lim_{i \to +\infty} \sqrt [n] n =1则无法判别敛散性 正向级数i=1+uii+limnn >1则级数发散i+limnn <1则级数收敛i+limnn =1则无法判别敛散性

证明方式也参考达朗贝尔判别法。

5. 极限审敛法
正向级数 ∑ i = 1 + ∞ u i 若 lim ⁡ i → + ∞ n u i = l > 0 则级数发散 若 lim ⁡ i → + ∞ n p u i = l > = 0 ( p > 1 ) 则级数收敛 \color{red}正向级数\sum_{i= 1}^{+\infty} u_{i} \\ 若\lim_{i \to +\infty} n u_{i} = l > 0则级数发散\\ 若\lim_{i \to +\infty} n^p u_{i} = l >= 0(p > 1)则级数收敛 正向级数i=1+uii+limnui=l>0则级数发散i+limnpui=l>=0(p>1)则级数收敛

  1. p级数的敛散性

讨论p级数的敛散性:
1 + 1 2 p + 1 3 p + 1 4 p + . . . + 1 ( n − 1 ) p + 1 n p (1.6) 1 + \frac{1}{2^p}+ \frac{1}{3^p}+ \frac{1}{4^p}+ ... + \frac{1}{(n-1)^p}+ \frac{1}{n^p} \tag{1.6} 1+2p1+3p1+4p1+...+(n1)p1+np1(1.6)

证明:

假设 0<p<1,那么此级数发散。
假设p>1, 若k > x,此时有如下数学逻辑:

1 k p < 1 x p \frac{1}{k^p} < \frac{1}{x^p} kp1<xp1

1 k p = ∫ k − 1 k 1 k p d x < ∫ k − 1 k 1 x p d x \frac{1}{k^p} = \int_{k-1}^{k} \frac{1}{k^p}dx < \int_{k-1}^{k} \frac{1}{x^p}dx kp1=k1kkp1dx<k1kxp1dx

(1.6)式可化为:
1 + ∑ k = 2 n 1 k p = 1 + ∫ 1 2 1 2 p d x + ∫ 2 3 1 3 p d x + ∫ 3 4 1 4 p d x + . . . + ∫ n − 1 n 1 n p d x < 1 + ∫ 1 2 1 x p d x + ∫ 2 3 1 x p d x + ∫ 3 4 1 x p d x + . . . + ∫ n − 1 n 1 x p d x = 1 + ∫ 1 n 1 x p d x = 1 + 1 1 − p 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^p} =\\ 1 +\int_{1}^{2} \frac{1}{2^p}dx + \int_{2}^{3} \frac{1}{3^p}dx + \int_{3}^{4} \frac{1}{4^p}dx + ... + \int_{n-1}^{n} \frac{1}{n^p}dx <\\ 1 +\int_{1}^{2} \frac{1}{x^p}dx + \int_{2}^{3} \frac{1}{x^p}dx + \int_{3}^{4} \frac{1}{x^p}dx + ... + \int_{n-1}^{n} \frac{1}{x^p}dx = 1 + \int_{1}^{n} \frac{1}{x^p}dx = \\ 1 + \frac{1}{1-p} 1+k=2nkp1=1+122p1dx+233p1dx+344p1dx+...+n1nnp1dx<1+12xp1dx+23xp1dx+34xp1dx+...+n1nxp1dx=1+1nxp1dx=1+1p1

因此当p>1时,级数收敛。

  1. 交错级数(莱布尼茨定理)

交错级数 u 1 − u 2 + u 3 − u 4 + . . . + u n − 1 − u n = ∑ i = 1 + ∞ ( − 1 ) i − 1 u i (1.7) u_1 - u_2 + u_3 -u_4 + ... + u_{n-1} - u_n \tag{1.7} =\sum_{i=1}^{+\infty} (-1)^{i-1} u_i u1u2+u3u4+...+un1un=i=1+(1)i1ui(1.7)若满足条件:
(1) u i ≥ u i + 1 u_i \ge u_{i+1} uiui+1
(2) lim ⁡ i → + ∞ u i = 0 \lim _{i \to +\infty} u_i = 0 limi+ui=0
则:
(1) 级数收敛
(2) 级数的和小于等于 u 1 u_1 u1
(3) 级数的余项的绝对值小于等于 u n + 1 u_{n+1} un+1

证明:
(1.7)式可化为:
u 1 − ( u 2 − u 3 ) − ( u 4 − u 5 ) − . . . − ( u n − 1 − u n ) u_1 - (u_2 - u_3) - (u_4 - u_5) - ... -( u_{n-1} - u_n ) u1u2u3)(u4u5)...(un1un)
由上式可得,括号中的每项都是正数,因此级数收敛并且级数的和小于等于 u 1 u_1 u1,并且 级数的余项的绝对值小于等于 u n + 1 u_{n+1} un+1

  1. 小例子

判断 n 2 + n + 1 n 3 + n 2 + n + 1 \frac{n^2 + n + 1}{n^3 + n^2 + n + 1} n3+n2+n+1n2+n+1的敛散性。

提示:根据达朗贝尔审敛法。

  1. 绝对收敛和条件收敛

若级数 s = ∑ i = 1 n ∣ u i ∣ s = \sum_{i=1}^{n} |u _{i}| s=i=1nui收敛,则级数 s = ∑ i = 1 n u i s = \sum_{i=1}^{n} u _{i} s=i=1nui收敛。
证明:

假设 v n = 1 2 ( u n + ∣ u n ∣ ) v_n = \frac{1}{2}(u_n + |u_n|) vn=21(un+un)
那么 v n ≤ ∣ u n ∣ 且 v n ≥ 0 v_n \le |u_n|且v_n \ge 0 vnunvn0,因为 ∑ n = 1 + ∞ u n \sum_{n=1}^{+\infty} u_n n=1+un收敛,根据比较审敛定理2,可得级数 ∑ n = 1 + ∞ v n \sum_{n=1}^{+\infty} v_n n=1+vn收敛。这里的数学思维,一个是运用了 v n v_n vn一般项的构造,另一个是比较审敛定理2的使用,该定理的条件是级数必须是正项级数。
另外一种思路是,构造 w n = 1 2 ( ∣ u n ∣ − u n ) w_n = \frac{1}{2}( |u_n| - u_n) wn=21(unun),该表达式也是绝对收敛求解中较为常用的一种思路。
级数的绝对收敛和条件收敛的关系是必要非充分条件。

  1. Abel定理及收敛半径的判定

Abel定理从理论上证明了幂函数收敛的条件和收敛半径的存在。

幂级数收敛半径的计算公式:

ρ = 1 lim ⁡ n → + ∞ ∣ u n + 1 u n ∣ \rho = \frac{1}{\lim_{n \to + \infty}| \frac{u_{n+1}}{u_n} | } ρ=limn+unun+11

若上述公式的分母为0,收敛半径为无穷;若上述公式的分母为无穷,则收敛半径为0。

本部分的理论基础是几何级数(等比数列)。几何级数、调和级数、p级数等是级数部分必须理解的知识,否则寸步难行。

考虑如下几个问题是否正确

(1) 上述公式是否可以理解为:

收敛半径 = lim ⁡ n → + ∞ ∣ u n u n + 1 ∣ ? \color{red}收敛半径 = \lim_{n \to + \infty}| \frac{u_{n}}{u_{n+1}} | ? 收敛半径=n+limun+1un

(2) 上述定理的绝对收敛条件下成立,
那么非绝对收敛是否成立呢?

11. 幂级数的和,其积分和微分也是幂级数,而且跟原来的幂级数有相同的收敛半径。这一点根据收敛半径的公式可以很容易的验证。

  1. 幂级数的展开以及二项式公式。此点不解释。

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