图的应用之关键路径

1.AOV网（Activity On Vertex NetWork）

用DAG图表示一个工程。顶点表示活动， $V_i,V_j>$ 表示 $V_i$ 必须先于活动 $V_j$ 进行

2.拓扑排序

（1）拓扑排序定义
在图论中，由一个DAG图的顶点组成的序列，当且仅当满足下列条件时，称为该图的一拓扑排序
1）每个顶点出现且出现一次
2）若顶点A在序列中排在顶点B的前面，则在图中不存在从顶点B到顶点A 的路径

（2）AOV/AOE网的拓扑排序步骤
1）从AOV/AOE网中选择一个没有前驱（入度为0）的顶点并输出
2）从网中删除该顶点和所有以它为起点的有向边
3）重复1）和2）两个步骤直到AOV/AOE网为空

（3）AOV/AOE网的逆拓扑排序
1）从AOV/AOE网中选择一个没有后继（出度为0）的顶点并输出
2）从网中删除该顶点和所有以它为终点的有向边
3）重复1）和2）两个步骤直到AOV/AOE网为空

3.AOE网（Activity On Edge NetWork）

（1）AOE网的定义
在带权DAG图中，以顶点表示事件，以有向边表示活动，以边上的权值表示完成该活动的开销，称之为用边表示活动的网络，简称AOE网（Activity On Edge NetWork）

（2）AOE网的性质
1）只有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各有向边所代表的活动才能开始
2）只有在进入某顶点的各有向边所代表的活动都已结束时，该顶点所代表的事件才能发生，另外，有些活动是可以合并的

（3）源点和汇点
1）源点：在AOE网中仅有一个入度为0的顶点，称为开始顶点（源点）表示整个工程的开始
2）汇点：也仅有一个出度为0的顶点，称为结束顶点（汇点），表示整个工程的结束

4.关键路径

（1）关键路径和关键活动的定义
从源点到汇点的有向路径可能有多条，所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径，把关键路径上的活动称为关键活动

（2）关键路径和关键活动的含义
关键路径的长度就是完成整个工程的最短时间
1）若关键活动耗时增加，则整个工程的完成时间就会延长
2）缩短关键活动的时间，可以缩短整个工程的工期。但是缩短到一定程度，关键活动可能会变成非关键活动
3）AOE网可能有多条关键路径，只提高一条关键路径上的关键活动速度并不能缩短整个工程的工期，只有加快那些包括在所有关键路径上的关键活动才能达到缩短工期的目的

5.关键路径的计算

（1）相关概念

概念	描述
事件 $V_k$ 的最早发生时间 $V E (k)$	决定了所有 $V_k$ 开始的活动能够开工的最早时间
事件 $V_k$ 的最晚发生时间 $V L (k)$	指在不推迟整个工程完成的前提下，该事件最迟必须发生的时间
活动 $A_i$ 的最早开始时间 $E (i)$	指向该弧的弧尾所表示事件的最早发生时间，即 $E (i) = V E (k)$
活动 $A_i$ 的最晚开始时间 $L (i)$	指向该弧的弧头所表示事件的最晚发生时间与该活动所需时间之差，即 $L (i) = V L (k) - W e i g h t (i)$
活动 $A_i$ 的时间余量 $D (i)$	指在不增加完成整个工程所需总时间的情况下，活动 $A_i$ 可以拖延的时间，时间余量为零的活动就是关键活动

（2）关键路径的计算步骤
1）按拓扑排序序列，依次求各个顶点的 $V E (k)$
$V E (源点) = 0$
$VE(k)=Max\{VE(j)+Weight(V_j,V_k)\}$ ， $V_j$ 为 $V_k$ 的任意前驱
2）按逆拓扑排序序列，依次求各个顶点的 $V L (k)$
$V L (汇点) = V E (汇点)$
$VL(k)=Min\{VL(j)-Weight(V_j,V_k)\}$ ， $V_j$ 为 $V_k$ 的任意后继
3）求所有活动的最早发生时间 $E (i)$
若边 $V_k,V_j>$ 表示活动 $A_i$ ，则 $E (i) = V E (k)$
4）求所有活动的最晚发生时间 $L (i)$
若边 $V_k,V_j>$ 表示活动 $A_i$ ，则 $L(i)=VL(j)-Weight(V_k,V_j)$
5）求所有活动的时间余量 $D (i)$
$D (i) = L (i) - E (i)$
6）时间余量为0的活动就是关键活动，关键路径由关键活动组成