目录

一、朴素算法

二、埃氏筛法

1、与朴素算法对比

2、算法介绍    

3、例题即代码实现

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一、朴素算法

  从素数的定义中可以知道，一个整数n要被判断为素数，需要判断n是否能被2.3.n- 1中的一个整除。只2，3..n- 1都不能整除n，n才能判定为素数，而只要有一个能整除n的数出现，n就可以判定为非素数。
        这样的判定方法没有问题，复杂度为0(n)。但是在很多题目中，判定素数只是整个算法
中的一部分，这时候0(n)的复杂度实际上有点大，需要更加快速的判定方法。注意到如果在
2 ~n-1中存在n的约数，不妨设为k,即n%k=0,那么由k*(n/k)=n可知，n/k也是n的一个约数，且k与n/k中一定满足其中一个小于等于sqrt(n)、另一个大于等于sqrt(n)其中sqr(n)为根号n。这启发我们，只需要判定n能否被2, 3,.. sqrt(n)中的一个整除(具中x表示对x向下取整)，即可判定n县否为素数。这样的话时间复杂度就位o（ sqrt(n)）。

代码如下：

bool isprime（int x）{for(int i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){return false;}}return true;
}

这里有个东西要注意：c++中sqrt函数是对double类型的函数，但是在实际代码中传进来的一般是一个int类型的数，因此我们在使用时要像下面这样让x乘上一个1.0

int main(){int x;cin>>x;ifprime(sqrt(1.0*x));}

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二、埃氏筛法

1、与朴素算法对比

      上面这个算法在判断一个数是否是素数时时间复杂度优越，但是如果我们这个题目需要得到在这个数范围内所有的素数（素数表）时这个时间复杂度就偏大，即o（nsqrt（n））。

2、算法介绍    

      因此我们要隆重引入我们新的算法埃氏筛法：

当需要生成一个给定范围内所有素数的素数表时，可以采用更高效的算法来降低时间复杂度。一种常见的方法是使用埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。

        埃氏筛法的时间复杂度O(nlog(log(n)))，明显优于逐个判断每个数是否为素数的O(nsqrt（n）​)复杂度。

埃拉托斯特尼筛法的基本思想是从2开始，依次将每个素数的倍数标记为非素数，直到遍历完整个范围。剩下未被标记的数即为素数。

整理步骤如下：

1. 初始化一个布尔数组，表示每个数是否为素数，初始值为True。
2. 从2开始遍历到n​，对于每个素数p，将其倍数p×k（其中k>1）标记为非素数。
3. 遍历完整个范围后，未被标记的数即为素数。

这种方法在生成素数表时能够显著减少时间复杂度，是常用的高效算法之一。

3、例题即代码实现

链接-晴问算法：https://sunnywhy.com/sfbj/5/4/205

完整ac代码：

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int n;cin>>n;vector<bool> isprime(n+1,true);for(int i=2;i<=n;i++){if(isprime[i]){for(int j=i+i;j<=n;j+=i){isprime[j]=false;}cout<<i<<endl;}}return 0;
}