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1. 53. 最大子数组和

1.1 分析

一、题目解析：
求子数组最大和，可能会有所有元素和和子数组所有的和比较，然后取最大的一个。

二、算法原理：

1. 状态表示
   以i位置为结尾，来求子数组最大和。
   dp[i]：表示以i位置为结尾所有字数组中的最大和

2. 状态转移方程
   那么dp[i]就可能分两种情况：一种就是只有一个数，就是i对应的nums[i];另一种情况就是不止一个数就是i-1最大的子数组和dp[i-1]加上i位置对应的nums[i]。然后取这两种情况的最大值。
   状态转移方程：dp[i]=max(nums[i],dp[i-1]+nums[i])

3. 初始化
   第一位置的值可能也会取到，那么就多开一个空间，把dp[0]位置初始化为0，从而不影响后面的最大和。这里同时也要注意下标的映射关系，多开了一个空间,那么对应nums[i]的位置就得向前挪一个。

4. 填表顺序
   从左往右

5. 返回值
   就返回dp表中最大的值。
   为了方便，先记录一下当前位置最大子序列和最大值，然后更新。
   

1.2 代码

class Solution {
public:int maxSubArray(vector<int>& nums) {int n=nums.size();vector<int> dp(n+1);dp[0]=0;int ret=INT_MIN;for(int i=1;i<=n;i++){dp[i]=max(nums[i-1],dp[i-1]+nums[i-1]);ret=max(ret,dp[i]);}return ret;}
};

2. 918. 环形子数组的最大和

2.1 分析

一、题目解析：
这个题与上面一个类似，就是变成了环形。那么这里就可以分为两类：一类是中间相连子数组求最大和；另一类是在结尾和开头求最大和，这里会不方便计算，那么就过来，求中间连续子数组最小和，然后用这个数组的和减去这个最小和，就是这段首尾的最大和。然后比较这两类的和大小，返回最大的那个值就可以了。

二、算法原理：

1. 状态表示
   以i位置为结尾，分两种情况：一种来求子数组最大和，一种求最小和
   f[i]：表示以i位置为结尾所有字数组中的最大和
   g[i]：表示以i位置为结尾所有字数组中的最小和

2. 状态转移方程
   那么f[i]就可能分两种情况：一种就是只有一个数，就是i对应的nums[i];另一种情况就是不止一个数就是i-1最大的子数组和f[i-1]加上i位置对应的nums[i]。然后取这两种情况的最大值。
   f[i]：状态转移方程：f[i]=max(nums[i],f[i-1]+nums[i])

那么g[i]也可能分两种情况：一种就是只有一个数，就是i对应的nums[i];另一种情况就是不止一个数就是i-1最小的子数组和g[i-1]加上i位置对应的nums[i]。然后取这两种情况的最小值。
f[i]：状态转移方程：g[i]=min(nums[i],g[i-1]+nums[i])

3. 初始化
   第一位置的值可能也会取到，那么就多开一个空间，把f[0]位置和g[0]初始化为0，从而不影响后面的最大和。这里同时也要注意下标的映射关系，多开了一个空间,那么对应nums[i]的位置就得向前挪一个。

4. 填表顺序
   从左往右

5. 返回值
   一类是在f表中找到最大值fmax
   一类是在g表中找到最小值gmin
   但是在g表中可能会存在全是负数序列的情况，这里就得加一个判断，如果sum=gmin，那么就返回fmax，不然就比较两类和的大小，返回大的那一个。
   

2.2 代码

class Solution {
public:int maxSubarraySumCircular(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> f(n+1),g(n+1);int fmax=INT_MIN,sum=0,gmin=INT_MAX;for(int i=1;i<=n;i++){f[i]=max(nums[i-1],f[i-1]+nums[i-1]);fmax=max(fmax,f[i]);g[i]=min(nums[i-1],g[i-1]+nums[i-1]);gmin=min(gmin,g[i]);sum+=nums[i-1];}return sum==gmin?fmax:max(fmax,sum-gmin);}
};

3. 152. 乘积最大子数组

3.1 分析

一、题目解析：
求子数组最大乘积，可能会有所有元素和和子数组所有的和比较，然后取最大的一个。但是可能会存在i位置小于0，所以的多加一个数组。

二、算法原理：

1. 状态表示
   以i位置为结尾，来求子数组乘积。
   f[i]：表示以i位置为结尾所有字数组中的最大乘积
   g[i]：表示以i位置为结尾所有字数组中的最小乘积
2. 状态转移方程
   那么f[i]就可能分两种情况：一种就是只有一个数，就是i对应的nums[i];另一种情况就是不止一个数就是i-1最大的子数组乘积f[i-1]乘i位置对应的nums[i]，但是这里的nums[i]可能是小于0,所以这里还得分两种情况：一个是nums[i]>0,那么就是最大的子数组乘积f[i-1]乘i位置对应的nums[i]；如果nums[i]<0,就是最小的子数组乘积g[i-1]乘i位置对应的nums[i]。然后取这两种情况的最大值。
   

g[i]就可能分两种情况：一种就是只有一个数，就是i对应的nums[i];另一种情况就是不止一个数就是i-1最小的子数组乘积f[i-1]乘i位置对应的nums[i]，但是这里的nums[i]可能是小于0,所以这里还得分两种情况：一个是nums[i]>0,那么就是最小的子数组乘积g[i-1]乘i位置对应的nums[i]；如果nums[i]<0,就是最大的子数组乘积g[i-1]乘i位置对应的nums[i]。然后取这两种情况的最小值。

3. 初始化
   第一位置的值可能也会取到，那么就多开一个空间，把f[0]位置和g[0]初始化为1，从而不影响后面的最大乘积。这里同时也要注意下标的映射关系，多开了一个空间,那么对应nums[i]的位置就得向前挪一个。

4. 填表顺序
   从左往右
   两个表一起填

5. 返回值
   f表里面的最大值
   

3.2 代码

class Solution {
public:int maxProduct(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> f(n+1),g(n+1);f[0]=g[0]=1;int ret=INT_MIN;for(int i=1;i<=n;i++){int x=nums[i-1],y=f[i-1]*nums[i-1],z=g[i-1]*nums[i-1];f[i]=max(x,max(y,z));g[i]=min(x,min(y,z));ret=max(ret,f[i]);}return ret;}
};

4. 1567. 乘积为正数的最长子数组长度

4.1 分析

一、题目解析：
求数组乘积为正数的最长长度，可能会有所有元素和和子数组所有的和比较，然后取最大的一个。但是可能会存在i位置小于0，所以的多加一个数组。
二、算法原理：

1. 状态表示
   以i位置为结尾，所有子数组乘积为正数的最长长度。
   f[i]：表示以i位置为结尾所有字数组中乘积为正数的最长长度
   g[i]：表示以i位置为结尾所有字数组中乘积为负数的最长长度

2. 状态转移方程
   那么f[i]就可能分两种情况：一种就是只有一个数，就是i对应的nums[i]，如果num[i]<0，长度就为0，num[i]>0，长度就为1;
   另一种情况就是不止一个数就是i-1最大的子数组乘积为正数的最长长度,如果num[i]>0，长度就为就是以i-1为结尾的子数组乘积为正数的最长长度再加1；num[i]<0，长度就为就是以i-1为结尾的子数组乘积为负数的最长长度再加1，但是如果前面g[i-1]的结果为0，那么结果就是0，所以得先判断g[i-1]是否等于0。
   
   再把这两种情况优化一下，当num[i]>0，那么如果只有num[i]结果就是1，也就是没有不止一个元素的时候大，所以，直接用f[i-1]+1就行。
   num[i]<0，先判断判断g[i-1]是否等于0，是就是0，不是就取g[i-1]+1。
   f的状态转移方程：
   

那么g[i]就可能分两种情况：一种就是只有一个数，就是i对应的nums[i]，如果num[i]<0，长度就为1，num[i]>0，长度就为0;
另一种情况就是不止一个数就是i-1最大的子数组乘积为负数的最长长度,如果num[i]>0，长度就为就是以i-1为结尾的子数组乘积为负数的最长长度再加1，也不能直接加一，先判断判断g[i-1]是否等于0，是就是0，不是就取g[i-1]+1；
num[i]<0，长度就为就是以i-1为结尾的子数组乘积为正数的最长长度再加1。

g的状态转移方程：

3. 初始化
   第一位置的值可能也会取到，那么就多开一个空间，把f[0]位置初始化为0，g[0]初始化,0，从而不影响后面的结果。这里同时也要注意下标的映射关系，多开了一个空间,那么对应nums[i]的位置就得向前挪一个。

4. 填表顺序
   从左往右
   两个表一起填

5. 返回值
   返回f表里面最大值
   

4.2 代码

class Solution {
public:int getMaxLen(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> f(n+1),g(n+1);int ret=INT_MIN;for(int i=1;i<=n;i++){if(nums[i-1]>0){f[i]=f[i-1]+1;g[i]=g[i-1]==0?0:g[i-1]+1;}else if(nums[i-1]<0){f[i]=g[i-1]==0?0:g[i-1]+1;g[i]=f[i-1]+1;}ret=max(ret,f[i]);}return ret;}
};

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