本文的目的是为了求得方程组的解
$$AX=b\text{\hspace{1em}(1)}$$

• 关于X的解可以是无解，有唯一解，无数解这几种情况。

1. 消元

假设我们有一个方程组表示如下：
$$x_1+2x_2+2x_3+2x_4=b_1\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$2x_1+4x_2+6x_3+8x_4=b_2$$
$$3x_1+6x_2+8x_3+10x_4=b_3$$

• 矩阵化可得如下：
  $$A|b=\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ & & & & \\ 2& 4& 6& 8& b_2\\ & & & & \\ 3& 6& 8& 10& b_3\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$

• 化简上述增广矩阵A|b
  $$A|b=\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ & & & & \\ 0& 0& 2& 4& b_2-2b_1\\ & & & & \\ 0& 0& 2& 4& b_3-3b_1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$

• 化简上述增广矩阵A|b
  $$A|b=\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& b_1\\ & & & & \\ 0& 0& 2& 4& b_2-2b_1\\ & & & & \\ 0& 0& 0& 0& b_3-b_2-b_1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$

• 由上图可以看出，最后一行全为0才能满足方程有解
  $$b_3-b_2-b_1=0\Rightarrow b_3=b_2+b_1\text{\hspace{1em}(6)}$$

• 结论：
  $$AX=b有解的条件是:向量b是向量A中各个列向量的组合。$$

2. 特解

为了求AX=b的所有解，我们一般分2步：第1步求特解，第2步求零空间

• 当我们令$b={\left[\begin{array}{ccc}1& 5& 6\end{array}\right]}^T$，可以简化增广矩阵如下：
  $$A|b=\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 2& 2& 1\\ & & & & \\ 0& 0& 2& 4& 3\\ & & & & \\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$
• 我们令自由变量$x_2=0,x_4=0$代入方程可得$x_1=-2,x_3=\frac{3}{2}$.
  KaTeX parse error: Expected & or \\ or \cr or \end at end of input: …\begin{bmatrix}