引言

今天先是把之前还不熟的模板都写了一遍，写了才能体会到，其实模板写了背了其实还是不顶用，还是要有大量的刷题积累，才能把模板发挥出来，不然真的你都看不出来模型，你怎么去做。所以得大量的刷题啊，加油吧！

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一、道路与航线

标签：图论、SPFA、Dijkstra、最短路

思路：这道题一看边权有负数，所以第一时间就想着用 $SPFA$ 算法了，几乎就是模板，然后过了 $\frac{14}{16}$ 的数据，如果要是放在蓝桥杯里其实已经很不错了，但要是为 $ACM$ 赛制的话，就等于没做，所以我们就要对其优化。这里采用的是 $SPFA+SLE$ 优化，核心就是判断 $dist[j]$ 和队头：如果 $dist[j]<dist[q.front()]$ ，那就入队头，否则入队尾。加这么点变化，常数就会变小，就刚好能过了。

题目描述：

农夫约翰正在一个新的销售区域对他的牛奶销售方案进行调查。他想把牛奶送到 T 个城镇，编号为 1∼T。这些城镇之间通过 R 条道路 (编号为 1 到 R) 和 P 条航线 (编号为 1 到 P) 连接。每条道路 i 或者航线 i 连接城镇 Ai 到 Bi，花费为 Ci。对于道路，0≤Ci≤10,000;然而航线的花费很神奇，花费 Ci 可能是负数(−10,000≤Ci≤10,000)。道路是双向的，可以从 Ai 到 Bi，也可以从 Bi 到 Ai，花费都是 Ci。然而航线与之不同，只可以从 Ai 到 Bi。事实上，由于最近恐怖主义太嚣张，为了社会和谐，出台了一些政策：保证如果有一条航线可以从 Ai 到 Bi，那么保证不可能通
过一些道路和航线从 Bi 回到 Ai。由于约翰的奶牛世界公认十分给力，他需要运送奶牛到每一个城镇。他想找到从发送中心城镇 S 把奶牛送到每个城镇的最便宜的方案。输入格式
第一行包含四个整数 T,R,P,S。接下来 R 行，每行包含三个整数（表示一个道路）Ai,Bi,Ci。接下来 P 行，每行包含三个整数（表示一条航线）Ai,Bi,Ci。输出格式
第 1..T 行：第 i 行输出从 S 到达城镇 i 的最小花费，如果不存在，则输出 NO PATH。数据范围
1≤T≤25000,1≤R,P≤50000,1≤Ai,Bi,S≤T
输入样例：
6 3 3 4
1 2 5
3 4 5
5 6 10
3 5 -100
4 6 -100
1 3 -10
输出样例：
NO PATH
NO PATH
5
0
-95
-100

示例代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y secondconst int N = 3e4+10, M = 5e4*3+10, INF = 0x3f3f3f3f;int n, R, P, S;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N];
bool st[N];void add(int a, int b, int c)
{e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}void spfa()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[S] = 0; st[S] = true;deque<int> q; q.push_front(S);while(q.size()){int t = q.front(); q.pop_front();st[t] = false;for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(dist[j] > dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];if(!st[j]) {if(q.size() && dist[j] < dist[q.front()]) q.push_front(j);else q.push_back(j);st[j] = true;}}}}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);memset(h, -1 , sizeof h);cin >> n >> R >> P >> S;while(R--){int a,b,c; cin >> a >> b >> c;add(a,b,c), add(b,a,c);}while(P--){int a, b, c; cin >> a >> b >> c;add(a,b,c);}spfa();for(int i = 1; i <= n; ++i){if(dist[i] == INF) cout << "NO PATH" << endl;else cout << dist[i] << endl;}return 0;
}

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二、最优贸易

标签：图论SPFA

思路：这道题刚开始我觉得就是找最大值和最小值一减就行了，虽然过了几个样例但明显不对，因为这是有路程顺序的，并且不是所有的路都是双向的，所以得模拟。我们可以用两个数组来记录当前结点及之前的点的最大值和最小值，然后分别一正一反搜两次，用 $SPFA$ 算法，因为有可能第一次走到的点不是最优的，因为有可能退回来，所以得用 $SPFA$，剩余细节见代码。

题目描述：

C 国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 1 条。C 国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。商人阿龙来到 C 国旅游。当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚一点
旅费。设 C 国 n 个城市的标号从 1∼n，阿龙决定从 1 号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以被重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出
这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。因为阿龙主要是来 C 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。注意：本题数据有加强。输入格式
第一行包含 2 个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。接下来 m 行，每行有 3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 z=1，表示这条道路是城市 x 到城市 y 之间的单向道路；如果 z=2，表示这条道路为城市 x 和城市 y 之间的双向道路。输出格式
一个整数，表示答案。数据范围
1≤n≤100000,1≤m≤500000,1≤各城市水晶球价格≤100
输入样例：
5 5
4 3 5 6 1
1 2 1
1 4 1
2 3 2
3 5 1
4 5 2
输出样例：
5

示例代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y secondconst int N = 1e5+10, M = 5e5*3+10, INF = 0x3f3f3f3f;int n, m;
int h[N], rh[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dmin[N], dmax[N];
bool st[N];void add(int h[], int a, int b)
{e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}void spfa(int h[], int dist[], int S, bool type)  //true为min 
{memset(st, 0, sizeof st);if(type) memset(dist, 0x3f, sizeof dmax);else memset(dist, 0xcf, sizeof dmin);queue<int> q;dist[S] = w[S], q.push(S), st[S] = true;while(q.size()){int t = q.front(); q.pop();st[t] = false;for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if((type && dist[j] > min(dist[t], w[j])) || (!type && dist[j] < max(dist[t], w[j]))){if(type){dist[j] = min(dist[t], w[j]);}else{dist[j] = max(dist[t], w[j]);}if(!st[j]) {q.push(j);}}}}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);memset(h, -1, sizeof h);memset(rh, -1, sizeof rh);cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> w[i];while(m--){int u,v,t; cin >> u >> v >> t;add(h,u,v), add(rh,v,u);if(t == 2) add(h,v,u), add(rh,u,v);}spfa(h, dmin, 1, true);spfa(rh, dmax, n, false);int res = 0;for(int i = 1; i <= n; ++i) {// cout << dmax[i] << " " << dmin[i] << endl;res = max(res, dmax[i] - dmin[i]);}cout << res << endl;return 0;
}

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三、选择最佳路线

标签：最短路

思路：相当于给了一个图，然后求任意多个点到一个点的最短路，这里直接把边建成反向的，然后从终点做一遍最短路，然后在这多个起点中找最小值就行了。这里我把 $SPFA$ 和 $Dijkstra$ 算法都写了，见代码自行查看。

题目描述：

有一天，琪琪想乘坐公交车去拜访她的一位朋友。由于琪琪非常容易晕车，所以她想尽快到达朋友家。现在给定你一张城市交通路线图，上面包含城市的公交站台以及公交线路的具体分布。已知城市中共包含 n 个车站（编号1~n）以及 m 条公交线路。每条公交线路都是 单向的，从一个车站出发直接到达另一个车站，两个车站之间可能存在多条公交线路。琪琪的朋友住在 s 号车站附近。琪琪可以在任何车站选择换乘其它公共汽车。请找出琪琪到达她的朋友家（附近的公交车站）需要花费的最少时间。输入格式
输入包含多组测试数据。每组测试数据第一行包含三个整数 n,m,s，分别表示车站数量，公交线路数量以及朋友家附近车站的编号。接下来 m 行，每行包含三个整数 p,q,t，表示存在一条线路从车站 p 到达车站 q，用时为 t。接下来一行，包含一个整数 w，表示琪琪家附近共有 w 个车站，她可以在这 w 个车站中选择一个车站作为始发站。再一行，包含 w 个整数，表示琪琪家附近的 w 个车站的编号。输出格式
每个测试数据输出一个整数作为结果，表示所需花费的最少时间。如果无法达到朋友家的车站，则输出 -1。每个结果占一行。数据范围
n≤1000,m≤20000,1≤s≤n,0<w<n,0<t≤1000
输入样例：
5 8 5
1 2 2
1 5 3
1 3 4
2 4 7
2 5 6
2 3 5
3 5 1
4 5 1
2
2 3
4 3 4
1 2 3
1 3 4
2 3 2
1
1
输出样例：
1
-1

示例代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y secondconst int N = 1010, M = 2e5+10, INF = 0x3f3f3f3f;int n, m, S, k;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N];
bool st[N];
int E[N];void add(int a, int b, int c)
{e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}// void spfa()
// {
// 	memset(st, 0, sizeof st);
// 	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
// 	dist[S] = 0; st[S] = true;// 	queue<int> q; q.push(S);
// 	while(q.size())
// 	{
// 		int t = q.front(); q.pop();
// 		st[t] = false;// 		for(int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
// 		{
// 			int j = e[i];
// 			if(dist[j] > dist[t] + w[i])
// 			{
// 				dist[j] = dist[t] + w[i];
// 				if(!st[j]) st[j] = true, q.push(j);
// 			}
// 		}
// 	}
// }void dijkstra()
{memset(st, 0, sizeof st);memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[S] = 0;priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;heap.push({0,S});while(heap.size()){auto t = heap.top(); heap.pop();int v = t.x, p = t.y;if(st[p]) continue;st[p] = true;for(int i = h[p]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if(dist[j] > dist[p] + w[i]){dist[j] = dist[p] + w[i];heap.push({dist[j],j});}}}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);while(cin >> n >> m >> S){memset(h, -1, sizeof h);while(m--){int a, b, c; cin >> a >> b >> c;add(b,a,c);}cin >> k;for(int i = 0; i < k; ++i){cin >> E[i];}dijkstra();
// 		spfa();int res = INF;for(int i = 0; i < k; ++i){int j = E[i];
// 			cout << dist[j] << " ";res = min(res, dist[j]);}if(res == INF) cout << -1 << endl;else cout << res << endl;}return 0;
}