dijkstra算法及模板题

⭐️dijkstra

介绍（想看的可以看）

Dijkstra算法（ /ˈdaɪkstrəz/ DYKE-str z）是一种用于找到加权图中的节点之间的最短路径的算法，该加权图可以表示例如道路网络。它是由计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年出版，三年后出版。
该算法存在许多变体。Dijkstra的原始算法找到了两个给定节点之间的最短路径，但更常见的变体将单个节点固定为“源”节点，并找到从源到图中所有其他节点的最短路径，生成最短路径树。
对于图中给定的源节点，该算法找到该节点与其他节点之间的最短路径。它也可以用于找到从单个节点到单个目的地节点的最短路径，一旦到目的地节点的最短路径已经确定，就停止算法。例如，如果图中的节点表示城市，而边路径的成本表示通过直接道路连接的成对城市之间的驾驶距离（为简单起见，忽略红灯，停车标志，收费公路和其他障碍物），则Dijkstra算法可以用于找到一个城市和所有其他城市之间的最短路线。最短路径算法的一个广泛应用是网络路由协议，最著名的是IS-IS（中间系统到中间系统）和OSPF（开放最短路径优先）。它也被用作其他算法（如约翰逊算法）的子程序。
Dijkstra算法使用的标签是正整数或真实的数字，它们是完全有序的。它可以推广到使用任何部分有序的标签，只要后续标签（遍历边时产生后续标签）是单调非递减的。这种推广称为通用Dijkstra最短路径算法。
Dijkstra的算法使用一种数据结构来存储和查询从一开始就按距离排序的部分解。Dijkstra的原始算法不使用最小优先级队列，并在时间。该算法的思想也在Leyzorek et al. 1957中给出。Fredman & Tarjan 1984提出使用Fibonacci堆最小优先级队列来优化运行时间复杂度到。这是渐近已知的最快的单源最短路径算法任意有向图与无界非负权重。然而，特殊情况（如有界/整数权重，有向无环图等）确实可以进一步改进，如专业化变体中所述。此外，如果允许预处理，诸如收缩层次结构之类的算法可以快七个数量级。
在许多领域，特别是人工智能领域，Dijkstra算法或其变体被称为均匀成本搜索，并被公式化为更一般的最佳优先搜索思想的实例.

另外的两个最短路算法
bellman-ford算法
floyd算法

具体原理

在图中所有的边上，排满多米诺骨牌，相当于把骨牌看成图的边。一条边上的多米诺骨牌数量，和边的权值（例如长度或费用）成正比。规定所有骨牌倒下的速度都是一样的。如果在一个结点上推倒骨牌，会导致这个结点上的所有骨牌都往后面倒下去。
在起点s推倒骨牌，可以观察到，从s开始，它连接的边上的骨牌都逐渐倒下，并到达所有能达到的结点。在某个结点t，可能先后从不同的线路倒骨牌过来；先倒过来的骨牌，其经过的路径，肯定就是从s到达t的最短路；后倒过来的骨牌，对确定结点t的最短路没有贡献，不用管它。
从整体看，这就是一个从起点s扩散到整个图的过程。
在这个过程中，观察所有结点的最短路径是这样得到的：
（1）在s的所有直连邻居中，最近的邻居u，骨牌首先到达。u是第一个确定最短路径的结点。从u直连到s的路径肯定是最短的，因为如果u绕道别的结点到s，必然更远。
（2）然后，把后面骨牌的倒下分成2部分，一部分是从s继续倒下到s的其它的直连邻居，另一部分从u出发倒下到u的直连邻居。那么下一个到达的结点v，必然是s或者u的一个直连邻居。v是第二个确定最短路径的结点。
（3）继续以上步骤，在每一次迭代过程中，都能确定一个结点的最短路径。
Dijkstra算法应用了贪心法的思想，即“抄近路走，肯定能找到最短路径”。算法可以简单概况为：Dijkstra = BFS + 贪心。实际上，“Dijkstra + 优先队列 = BFS + 优先队列（队列中的数据是从起点到当前点的距离）”。
下面分析复杂度。设图的点有n个，边有m条。编码的时候，集合A一般用优先队列来模拟。优先队列可以用堆或其他高效的数据结构实现，往优先队列中插入一个数、取出最小值的操作都是O(logn)的。一共往队列中插入m次（每条边都要进集合A一次），取出n次（每次从集合A中取出距离s最短的一个点，取出时要更新这个点的所有邻居到s的距离，设一个点平均有k个邻居），那么总复杂度是O(m×logn + n×k×logn) O(m×logn)，一般有m大于n。

模板题

问题描述

蓝桥王国一共有N个建筑和M条单向道路，每条道路都连接着两个建筑，每个建筑都有自己编号，分别为1∼。（其中皇宫的编号为1）国王想让小明回答从皇宫到每个建筑的最短路径是多少，但紧张的小明此时已经无法思考，请你编写程序帮助小明回答国王的考核。

格式输入

输入第一行包含2个正整数N,M。第2到M+1行每行包含三个正整数u,v,w，表示u→v之间存在一条距离为w的路。1≤N≤3×105，1≤m≤106，1≤ui ,vi≤N，0≤wi≤109。

格式输出

输出仅一行，共N个数，分别表示从皇宫到编号为1∼N建筑的最短距离，两两之间用空格隔开。（如果无法到达则输出−1）

样例输入

3 3
1 2 1
1 3 5
2 3 2

样例输出

0 1 3

解析

dijkstra求解

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
//#define inf LONG_MAX
using namespace std;
const long long inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
const int N=3e5+2;
int n,m,u,v;
long long dis[N],w;
struct edg{int to;long long d;
};
vector<edg> g[N];
struct node{int id;long long dis;bool operator < (const node & a)const{return dis>a.dis;}node(int b,long long c){id=b;dis=c;}
}; 
void dijkstra()
{//node node1(1,0);dis[1]=0;priority_queue <node> q;q.push(node(1,0));int done[N];for (int i=1;i<=n;i++)done[i]=0;while(!q.empty()){node node1=q.top();q.pop();int id1=node1.id;if(done[id1]) continue;done[id1]=1;int sz=g[id1].size();for (int i=0;i<sz;i++){if(done[g[id1][i].to]) continue;if(dis[g[id1][i].to]>node1.dis+g[id1][i].d)dis[g[id1][i].to]=node1.dis+g[id1][i].d;q.push(node(g[id1][i].to,dis[g[id1][i].to]));}}}
int main()
{cin>>n>>m;for (int i=1;i<=n;i++)dis[i]=inf;for (int i=1;i<=m;i++){cin>>u>>v>>w;g[u].push_back({v,w});//g[v].push_back({u,w});}dijkstra();for (int i=1;i<=n;i++){if(dis[i]>=inf)cout<<-1<<" ";elsecout<<dis[i]<<" ";} return 0;}