算法的时间复杂度与空间复杂度

俗话说“条条大路通罗马”，我们在用算法解决某一个问题时，往往会存在多种解决方法，但正如道路有远近之分，不同的算法也应该是有优劣的。为了更加清晰的量化算法的优劣，我们就需要引入算法的时间复杂度与空间复杂度了。那么就由小编来带大家梳理一下吧

一、时间复杂度

1、时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，

算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

2、时间复杂度的求法

1、O（n）渐进表示法

让我们来看一下下列代码：

// 请计算一下func1基本操作执行了多少次？void func1(int N){int count = 0;for (int i = 0; i < N ; i++) {for (int j = 0; j < N ; j++) {count++;}}for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {count++;}int M = 10;while ((M--) > 0) {count++;}System.out.println(count);}

第一段有一个双重for循环，全部遍历完需要N^2次，中间的单层for循环遍历完需要N次，最后的while循环由于M的值是10，因此遍历完需要10次。

所以func1的基本操作执行的总次数就为：

F(N)=N^2+N+10

这时我们试着带入几种情况试一试：

N = 10 F(10) = 130
N = 100 F(100) = 10210
N = 1000 F(1000) = 1002010

我们会发现随着N取值的增大，F(N)的决定项中N和10对总次数的影响会越来越小，运用数学中的极限的思想，当N非常大时，F(N)的取值将只由项N^2决定，这时我们就可以说func1的时间复杂度为O(N^2)了。

实际中我们计算时间复杂度时，其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要 大概执行次数，那么这里我们就 使用大 O 的渐进表示法。

大O符号（Big O notation ）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

2、推导大O阶方法

1 、用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数。

2 、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3 、如果最高阶项存在且不是 1 ，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大 O 阶。

上面我们在推导时其实就是对这些原理的具体阐释，Func1的时间复杂度为：O(N^2)

这时我们再带入几个值看看：

N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000

正如我们之前的推导，通过上面我们会发现大 O 的渐进表示法 去掉了那些对结果影响不大的项 ，简洁明了的表示出了执行次数。

注意：

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数 ( 上界 )

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数 ( 下界 )

例如：在一个长度为 N 数组中搜索一个数据 x

最好情况： 1 次找到

最坏情况： N 次找到

平均情况： N/2 次找到

在计算时间复杂度时，我们一般都是考虑最坏情况

其实仔细想想，在应用总对运行时间有严格要求时，如果最坏情况都符合要求的话，那这算法不就一定符合要求了嘛

3、常见的时间复杂度计算举例

1、非递归

(1)

// 计算func2的时间复杂度？
void func2(int N) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
count++;
}
int M = 10;
while ((M--) > 0) {
count++;
}
System.out.println(count);
}

基本操作执行了 2N+10 次，通过推导大 O 阶方法知道，时间复杂度为 O(N)

(2)

// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N, int M) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++) {
count++;
}
for (int k = 0; k < N ; k++) {
count++;
}
System.out.println(count);
}

基本操作执行了 M+N 次，有两个未知数 M 和 N ，时间复杂度为 O(N+M)

(3)

// 计算func3的时间复杂度？void func3(int N) {int count = 0;for (int k = 0; k < 100; k++) {count++;}System.out.println(count);}

基本操作执行了 100 次，通过推导大 O 阶方法，时间复杂度为 O(1)

(4)

// 计算bubbleSort的时间复杂度？void bubbleSort(int[] array) {for (int end = array.length; end > 0; end--) {boolean sorted = true;for (int i = 1; i < end; i++) {if (array[i - 1] > array[i]) {Swap(array, i - 1, i);sorted = false;}}if (sorted == true) {break;}}}

基本操作执行最好 N 次

最坏执行了 (N*(N-1))/2 次

通过推导大 O阶方法 + 时间复杂度一般看最坏

时间复杂度为 O(N^2)

(5)

// 计算binarySearch的时间复杂度？int binarySearch(int[] array, int value) {int begin = 0;int end = array.length - 1;while (begin <= end) {int mid = begin + ((end-begin) / 2);if (array[mid] < value)begin = mid + 1;else if (array[mid] > value)end = mid - 1;elsereturn mid;}return -1;}

基本操作执行最好 1次

最坏log2N次

时间复杂度为 O( log2N)

ps： log2N 在算法分析中表示是底数 为 2 ，对数为 N， 有些地方会写成 lgN。

( 建议通过折纸查找的方式讲解 logN 是怎么计算出来的）

( 因为二分查找每次排除掉一半的不适合值, 一次二分剩下： n/2 两次二分剩下：n/2/2 = n/4)

究其根本，求解时间复杂度就是在求最坏情况下程序执行的次数

2、递归

其实递归类型看着复杂，其核心求法就是：

时间复杂度=递归次数*每次递归的执行次数

(6)

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？long factorial(int N) {return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;}

通过计算分析发现基本操作递归了 N 次，每次递归执行1次，时间复杂度为 O(N)

(7)

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？int fibonacci(int N) {return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);}

通过计算分析发现基本操作递归了2^N次，每次递归执行1次，时间复杂度为O(2^N)

二、空间复杂度

在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度，所以这里我们就简单介绍一下

空间复杂度是对一个算法在运行过程中 临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少 bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大 O 渐进表示法 。

例1

// 计算bubbleSort的空间复杂度？void bubbleSort(int[] array) {for (int end = array.length; end > 0; end--) {boolean sorted = true;for (int i = 1; i < end; i++) {if (array[i - 1] > array[i]) {Swap(array, i - 1, i);sorted = false;}}if (sorted == true) {break;}}}

使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

例2

// 计算fibonacci的空间复杂度？int[] fibonacci(int n) {long[] fibArray = new long[n + 1];fibArray[0] = 0;fibArray[1] = 1;for (int i = 2; i <= n ; i++) {fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];}return fibArray;}

动态开辟了 N 个空间，空间复杂度为 O(N)

例3

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？long factorial(int N) {return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;}

递归调用了 N 次，开辟了 N 个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为 O(N)

三、总结

一段程序的优劣主要就由时间复杂度与空间复杂度决定，而这两者一般是很难兼得的，所以我们应该根据实际需求对代码进行调整，没有最好的代码，只有最合适的代码

那么本篇文章就到此为止了，如果觉得这篇文章对你有帮助的话，可以点一下关注和点赞来支持作者哦。作者还是一个萌新，如果有什么讲的不对的地方欢迎在评论区指出，希望能够和你们一起进步✊