【分解定理】分解定理I、II、III

分解定理I

A \in \mathcal F(X),则

\underset{\sim}{A}=\bigcup_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda

\forall x \in X

\begin{aligned}(\cup_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda)(x)&=\vee_{\lambda\in[0,1]}(\lambda\wedge A_\lambda(x))\\&=\left(\vee_{0\leqslant\lambda\leqslant \underset{\sim}A(x)}(\lambda\wedge A_\lambda(x))\right)\vee \left(\vee_{\underset{\sim}A(x)<\lambda\leqslant1}(\lambda\wedge A_\lambda(x))\right)\\&=\left(\vee_{0\leqslant\lambda\leqslant \underset{\sim}A(x)}\lambda\right)\\&=\underset{\sim}A(x).\end{aligned}

 设A \in \mathcal F(X),则

\underset{\sim}{A}(x)=\bigvee\{\lambda\in[0,1]|x\in A_{\lambda}\},\quad x\in X.

分解定理II

A \in \mathcal F(X),则

\underset{\sim}{A}=\bigcup_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_{\underset{\cdot}\lambda}

 设A \in \mathcal F(X),则

\underset{\sim}{A}(x)=\bigvee\{\lambda\in[0,1]|x\in A_{\underset{\cdot}\lambda}\},\quad x\in X.

分解定理III

A \in \mathcal F(X),集值映射

\begin{aligned}H:[0,1]&\longrightarrow\mathcal{P}(X)\\\\\lambda&\longmapsto H(\lambda)\end{aligned}

且对任意的\lambda \in [0,1],有A_{\underset{\cdot}\lambda}\subseteq H(\lambda)\subseteq A_{\lambda},则

1.\underset{\sim}A=\bigcup_{\lambda\in[0,1]}\lambda H(\lambda)

2.设\lambda_1,\lambda_2 \in [0,1],若\lambda_1< \lambda_2,则H(\lambda_2)\subseteq H(\lambda_1)

3.若\lambda \in (0,1],则A_{\lambda}=\bigcap_{\alpha<\lambda}H(\alpha);若\lambda \in [0,1),则A_{\underset{\cdot}\lambda}=\bigcup_{\alpha> \lambda}H(\alpha)

小结

分解定理I说明模糊集合可以由其截集族确定

分解定理II说明模糊集合可以由其强截集族确定

分解定理III说明模糊集合可以由集合族\{H(\lambda)|A_{\underset{\cdot}\lambda}\subseteq H(\lambda)\subseteq A_\lambda\}_{\lambda\in[0,1]}确定 

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