【分解定理】分解定理I、II、III

分解定理I

设 $A \in \mathcal F(X)$ ，则

$\underset{\sim}{A}=\bigcup_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda$

$\forall x \in X$

$\begin{aligned}(\cup_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_\lambda)(x)&=\vee_{\lambda\in[0,1]}(\lambda\wedge A_\lambda(x))\\&=\left(\vee_{0\leqslant\lambda\leqslant \underset{\sim}A(x)}(\lambda\wedge A_\lambda(x))\right)\vee \left(\vee_{\underset{\sim}A(x)<\lambda\leqslant1}(\lambda\wedge A_\lambda(x))\right)\\&=\left(\vee_{0\leqslant\lambda\leqslant \underset{\sim}A(x)}\lambda\right)\\&=\underset{\sim}A(x).\end{aligned}$

设 $A \in \mathcal F(X)$ ，则

$\underset{\sim}{A}(x)=\bigvee\{\lambda\in[0,1]|x\in A_{\lambda}\},\quad x\in X.$

分解定理II

设 $A \in \mathcal F(X)$ ，则

$\underset{\sim}{A}=\bigcup_{\lambda\in[0,1]}\lambda A_{\underset{\cdot}\lambda}$

设 $A \in \mathcal F(X)$ ，则

$\underset{\sim}{A}(x)=\bigvee\{\lambda\in[0,1]|x\in A_{\underset{\cdot}\lambda}\},\quad x\in X.$

分解定理III

设 $A \in \mathcal F(X)$ ，集值映射

$\begin{aligned}H:[0,1]&\longrightarrow\mathcal{P}(X)\\\\\lambda&\longmapsto H(\lambda)\end{aligned}$

且对任意的 $\lambda \in [0,1]$ ，有 $A_{\underset{\cdot}\lambda}\subseteq H(\lambda)\subseteq A_{\lambda}$ ，则

1. $\underset{\sim}A=\bigcup_{\lambda\in[0,1]}\lambda H(\lambda)$

2.设 $\lambda_1,\lambda_2 \in [0,1]$ ，若 $\lambda_1< \lambda_2$ ，则 $H(\lambda_2)\subseteq H(\lambda_1)$

3.若 $\lambda \in (0,1]$ ，则 $A_{\lambda}=\bigcap_{\alpha<\lambda}H(\alpha)$ ；若 $\lambda \in [0,1)$ ，则 $A_{\underset{\cdot}\lambda}=\bigcup_{\alpha> \lambda}H(\alpha)$