A. MIMO Communication Model

用户处的接收信号矩阵由
$$\begin{array}{c}\mathbf{Y}=({\mathbf{H}}_{bu}+{\mathbf{H}}_{ru}\Theta {\mathbf{H}}_{br})\mathbf{X}+\mathbf{W}\triangleq {\tilde{\mathbf{H}}}_{bu}\mathbf{X}+\mathbf{W},\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中，[hru,1，…]， hru,K]T∈CK×L, Hbr∈CL×N表示基带
从BS到用户、从RIS到用户、从BS到RIS的等效信道。Θ= diag(Θ 1，…， θL)为RIS相移矩阵，其中θL∈F，其中F为RIS处反射系数的可行?。这里我们假设F?{θl?|θl|= 1}[11]。X = [X1，…]，xM]表示传输信号矩阵，其中M为通信帧长度，W = [W1，…]， wK]T∈CK×M是用户处的噪声，其中wk~ CN(0，σ2I)，∀1≤k≤k。假设所有的信道都是块褪色的，并且在每帧内保持不变，并且假设所有的信道都是通过导频符号在BS处完美估计的。

通过将用户处的期望符号矩阵表示为 $\mathbf{S}\in {\mathbb{C}}^{K\times M}$，我们将接收到的信号矩阵重铸为

其中第二项表示多用户干扰(MUI)。MUI的总能量计算为

，对用户的可达和速率有显著影响。具体来说，第k个用户的每帧信噪比(SINR)为[12]

其中E(·)代表辩论对j的期望，那么可达到的和速率计算为

注意，对于给定的能量固定的星座，期望信号的功率Ej(|sk,j|2)是一个固定值。因此，用户k的可达数据速率可以通过最小化其接收到的干扰来最大化。从这个意义上说，最小化MUI能量与最大化和速率密切相关。因此，在下文[2]中，我们采用MUI能量作为通信性能指标。

B. MIMO Radar Model

与传统相控阵雷达不同，MIMO雷达可以发射多个探测信号，具有更高的波形分集[13]。如[2]、[13]、[14]所示，MIMO雷达的波束方向图设计等同于信号协方差矩阵的设计，可以表示为

，其发射波束图为

$$\begin{array}{c}{P}_d\left(\varphi \right)={\mathbf{a}}^H\left(\varphi \right){\mathbf{R}}_X\mathbf{a}\left(\varphi \right),\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

式中 $\varphi$ 表示探测角度，a(φ) = [1, ej2πδ sin(φ)，…， ej2π(N−1)δ sin(φ)]T∈CN×1为天线导向矢量，δ表示归一化天线间距。$P_d(\theta )$ 反映了发射波形的空间谱，这表明Pd(θ)值越大，向θ方向的辐射功率越大。

III. Joint Waveform and Phase Shift Matrix Design for Given Radar Beampattern

A. Problem Formulation

对于MIMO雷达的波束方向图设计，在[3]中提出了约束最小二乘问题，得到如下的理想波束方向图

$$\begin{array}{rl}& \underset{\beta ,{\mathbf{R}}_d}{\min }\sum _{m=1}^M{\left|\beta {\tilde{P}}_d\left({\varphi }_m\right)-{\mathbf{a}}^H\left({\varphi }_m\right){\mathbf{R}}_d\mathbf{a}\left({\varphi }_m\right)\right|}^2\\ & s.t.\mathrm{diag}\left({\mathbf{R}}_d\right)=\frac{P_{0}1}{{\sigma }^2},\\ & {\mathbf{R}}_d⪰0,\\ & \beta \ge 0,\end{array}\text{\hspace{1em}(8)(8a)(8b)(8c)}$$

式中{φ k}Kk=1表示覆盖探测角度范围[−π/2， π/2]的精细角网格，P˜d(φk)为θk处期望的理想波束方向图增益，β为比例因子，Rd为期望波形协方差矩阵，P0为功率预算。问题(8)是凸的，β和Rd可以通过已有的CVX求解器进行联合优化。
给定一个期望的协方差矩阵Rd, MUI最小化问题表述为

B. Proposed Algorithm

$$\begin{array}{rl}& \underset{\mathbf{X}}{\min }{\Vert {\tilde{\mathbf{H}}}_{bu}\mathbf{X}-\mathbf{S}\Vert }_F^2\\ & s.t.\frac{1}{M}\mathbf{X}{\mathbf{X}}^H={\mathbf{R}}_d,\end{array}\text{\hspace{1em}(10)(10a)}$$

V. S IMULATION RESULTS

在本节中，我们通过数值结果验证了所提出的联合波形和RIS反射矩阵设计算法。根据[2]的假设，信道矩阵的每一项服从标准复高斯分布。设置BS天线数为 $N=20$，总功率预算为 $P_0=20$dbm。定义发送信噪比为SNR =P0/N0。严格波束方向图等式约束和权衡设计的情况分别表示为“严格”和“权衡”。我们也比较了没有RIS辅助的结果[2]。我们假设三个目标分别位于相对于BS的 $\left[-60^{\circ },0^{\circ },60^{\circ }\right]$ 角度。注意，我们假设这些角度是由BS在探测阶段获得的，并用于设计理想的波束方向图。

在图2中，我们展示了所提出的算法2和算法3的收敛行为。可以看出，与算法2相比，算法3的收敛速度更快。原因是，通过允许优化波束和期望波束之间的不相似性，在每次迭代中引入了更多的自由度；因此，可以更快地实现收敛。此外，我们还介绍了 SDR-based 的的方法的性能。由于SDR技术中的秩一近似，sdr的不能收敛，导致目标值较大。与基于SDR的方法的比较也表明了本文算法的优越性。

在图3(a)中，我们展示了不同传输信噪比下不同方法实现的和速率，其中 $L=16$。它表明，在 strict beampattern constraint 和 trade-off design 两种情况下，借助于RIS都可以显著提高和速率。同时，随着权重因子 $\rho$ 的增大，和速率的增大，但以优化波束图与期望波束图不匹配为代价。

图3(b)显示了不同RIS元素的和速率，其中发射SNR设置为6 dB。可以看出，随着 $L$ 的增大，所有方法的和速率都在增大，而它们之间的差异在减小。最后，当RIS元素个数足够大时，所有方法的和速率收敛。同样值得注意的是，当使用RIS时，提高 $\rho$ 的性能增益较低。原因是，通过联合设计波形和RIS反射矩阵，可以使 BS-用户信道和波形更好地匹配。因此，减少了雷达和通信性能之间的权衡。

在图4(a)中，我们给出了合成的雷达波束图。“严格”方法的波束图与期望的波束图相同。通过引入一个小的加权因子 $\rho =0.01$，在没有利用RIS的情况下，[2]的波束模式会严重退化。而对于 RIS-assisted 方法，设计的波束与期望的波束匹配良好。这是因为RIS能够帮助将MUI降低到一个很小的值；因此，解决问题(23)的目标近似为最小化设计波形和期望波形之间的相异度。

为了更清楚地说明这一点，我们在图4(b)中给出了获得的波束图的均方误差(MSE)。可以看出，与不使用RIS的情况相比，MSE可以显着降低。图4和图3(a)、(b)表明，RIS能够帮助实现雷达和通信性能之间的更好平衡。