问题描述
隐含前提:
1.物体是不可分的,要么装,要么不装,不能只装一部分。
2.物体顶多使用一次。
动态规划思路
我在b站上看的闫氏dp分析大法的视频,他对dp问题做了总结归纳。
从集合的角度分析dp问题。求出有限集中的最值 / 个数。
分析内容主要包括两部分:
1.状态表示(化零为整):将一些有相似特征的元素化成一个子集,用某一个状态表示。
1.1 明确集合分类
1.2 明确题目中要找的属性(最大值 / 最小值 / 个数)
2.状态计算(化整为零):将数据划分为不同的子集。(依据:寻找最后一个不同点)
2.1 数据不重复
2.2 数据不遗漏
分析01背包问题
1.集合:
所有只考虑前 i 个物品,且总体积不超过 j 的选法的集合
2.属性:
集合中每个方案的最大值
3. 状态计算:
第一种:所有不选第 i 个物品的集合。
所以要从第1个到第 i - 1 中进行选择,且总体积不超过 j 。 dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ]
第二种:所以选了第 i 个物品的集合
我们已经选了第 i 个, 所以前 i-1个物品我们要选出最大值,且 前 i-1个物品的总体积为 j - vi。
dp[ i ][ j ] = dp[i-1][j - vi] + wi
这两种情况我们要取最大值。
所以最后状态计算表达式为:
dp[ i ][ j ] = max(dp[ i - 1][ j ], dp[i-1][j - vi] + wi)
代码实现
def knapsack_01(N, V, volumes, values): # 初始化 dp 数组,dp[i][j] 表示考虑前 i 件物品,在容量为 j 的背包中能够得到的最大价值 dp = [[0 for _ in range(V + 1)] for _ in range(N + 1)] # 动态规划过程 for i in range(1, N + 1): for j in range(1, V + 1): # 如果第 i 件物品的体积大于当前背包容量 j,则不能装入 if volumes[i - 1] > j: dp[i][j] = dp[i - 1][j] else: # 否则考虑放入和不放入两种情况,取较大者 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - volumes[i - 1]] + values[i - 1]) # 返回最大价值,即所有物品考虑在内,背包容量为 V 的最大价值 return dp[N][V] # 读取输入
N, V = map(int, input().split())
volumes = []
values = []
for _ in range(N): v, w = map(int, input().split()) volumes.append(v) values.append(w) # 输出最大价值
print(knapsack_01(N, V, volumes, values))
读取输入这样写就很妙,学会了。一点一点的进步吧!