并查集笔记

并查集

并查集（Disjoint-Set）是一种树型的数据结构，用于处理不相交集合的合并和查询问题。

例如：给定一个图，问两个点是否在同一棵树上

若使用暴力查找的话需要遍历许多元素时间复杂度可以达到 $O (n)$

我们可以选取每棵树的根作为代表，让所有结点都以这个根为标志，判断时只需要比较一次不就可以判断出来了吗，同样的，若连接某两个点，就相当于两个树合并到一起，都把一个根作为标志，就可以实现

大致的思想我们已经确定了，我们需要两个函数：合并（ $U ni o n$ ）和查询（ $F in d$ ），和一个标记祖先的数组 $f a$

在开始时，不要忘记把 $fa_i$ 设置初始值为 $i$ ，每个点在开始时需要把自己当做祖先

查询

查询函数会反复套用查询函数去查询自己的祖先，直到祖先就是那个点他自己，然后再回溯回来把祖先传给每一个后代的 $f a$

这样就能维护 $f a$ 是他们的祖先

具体实现的代码如下：

int Find(int x){if(fa[x]==x){return x;}return fa[x]=Find(fa[x]);
}

合并

将两个点连接，只需要找到他们的祖先，然后把其中一个祖先认另一个祖先为自己的祖先，在后来的 $f in d ()$ 中，就可以更新他全家的 $f a$ 为新祖先，就实现了两颗毫不相干的树连到一块的效果

具体实现的代码如下：

void Union(int x,int y){x=Find(x);y=Find(y);fa[x]=y;
}

并查集大致的原理就是这样的

例题

1.亲戚

洛谷 P1551 亲戚

模版题，方法上面已经说了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,p,fa[10000005],m,xx,yy;
int Find(int x){if(fa[x]==x){return x;}return fa[x]=Find(fa[x]);
}
void Union(int x,int y){x=Find(x);y=Find(y);fa[x]=y;
}
void Init(){for(int i=1;i<=n;i++){fa[i]=i;}
}
int main(){scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);Init();for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&xx,&yy);Union(xx,yy);}for(int i=1;i<=p;i++){scanf("%d%d",&xx,&yy);if(Find(xx)==Find(yy)){printf("Yes\n");}else{printf("No\n");}}return 0;
}

2.选学霸

洛谷 P2170 选学霸

题意是这样的：给定几对实力相当的人，把他们捆绑在一起，要么选，要么不选，再给定一个数m，问选择一个人数与m的差的绝对值最小的集体的人数，绝对值相同时人数越小的优先。

这道题是一道并查集加dp的题，首先需要一个数组来记录每个集体的总人数，同样的，在每次合并时也需要合并人数，初始化时也需要把人数归一

每个集体只有选和不选两个选择，所以用01背包，注意dp数组需开到2m

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,p,fa[20005],m,xx,yy,dp[20005],num[20005];
int a[20005],cnt,minn=0x3f3f3f,minna;
int Find(int x){if(fa[x]==x){return x;}return fa[x]=Find(fa[x]);
}
void Union(int x,int y){x=Find(x);y=Find(y);if(x==y){return ;}fa[x]=y;num[y]+=num[x];
}
void Init(){for(int i=1;i<=n;i++){fa[i]=i;num[i]=1;}
}
int main(){scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);Init();for(int i=1;i<=p;i++){scanf("%d%d",&xx,&yy);Union(xx,yy);}for(int i=1;i<=n;i++){if(fa[i]==i){a[++cnt]=num[i];}}for(int i=1;i<=cnt;i++){for(int j=m*2;j>=a[i];j--){dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+a[i]);}}    for(int i=1;i<=m*2;i++){if(abs(dp[i]-m)<minn){minn=abs(dp[i]-m);minna=dp[i];}}printf("%d",minna);return 0;
}

3.程序自动分析

洛谷 P1955 [NOI2015] 程序自动分析

给定一些相等关系的数和不等关系的数，问是否自相矛盾，自相矛盾输出“NO”，对应的，符合逻辑输出“YES”

本题的思想是把所有相等关系的数放在一堆，不等关系的可以作为一个检验的依据，若强调两个数不等却在 $f in d$ 中真找到了他们的相等关系，那就可以肯定他自相矛盾

另外，由于这题强大的数据，我们不得不离散化

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,fa[1000005],m,xx[100005],yy[100005];
long long t,e[100005];
long long Find(long long x){if(fa[x]==x){return x;}return fa[x]=Find(fa[x]);
}
void Union(long long x,long long y){x=Find(x);y=Find(y);fa[x]=y;
}
void Init(){for(int i=1;i<=n;i++){fa[i]=i;}
}
int main(){scanf("%lld",&t);while(t--){bool flag=0;scanf("%lld",&n);Init();for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld%d",&xx[i],&yy[i],&e[i]);if(e[i]){Union(xx[i],yy[i]);}}for(int i=1;i<=n;i++){if(Find(xx[i])==Find(yy[i])&&!e[i]){flag=1;}}if(flag){printf("NO\n");continue;}printf("YES\n");}return 0;
}

加权并查集

int Find(int x){if(fa[x]==x){return x;}int root=Find(fa[x]);dis[x]+=dis[fa[x]];return fa[x]=root;
}
void Union(int x,int y){int fx=Find(x);int fy=Find(y);if(fx==fy){return ;}fa[fx]=fy;//......dis[x]=dis[y]+1;
}