一图理解递归-算法通关村

递归是我们算法进阶的基础，是必须要掌握的内容，只有掌握了递归才算真的会算法。与递归有关的问题有：
- 与树和二叉树相关的大部问题
- 二分查找相关的问题
- 快速排序、归并排序相关的问题
- 所有回溯的问题
- 所有动态规划的问题

1 递归的特征

递归，大部分人都知道怎么回事，但是代码就是写不出来，所谓”你讲的都对，但我就是不会“。
递归的本质仍然是方法调用，不过是自己调用自己，系统给我们维护了不同调用之间的保存和返回等功能。
这种例子在现实中也有很多的，例如有一个笑话：
从前啊，有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚在讲故事，老和尚对小和尚说：
从前啊，有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚在讲故事，老和尚对小和尚说：
如果看递归代码的结构，就像下面这个样子，前面的每一层都去一模一样地调下一层，不同的只是输入和输出的参数。
当然这个过程不能一直持续下去，一定要在满足某个要求之后返回结果的，否则的话，就会抛出“StackOverFLow”的问题。
所有的递归有两个基本的特征：
①执行时范围不断缩小，这样才能触底反弹。
②终止判断在调用递归的前面，这个终止条件，就是要触的底。
理解这几条特征可以辅助我们更好的理解递归，我们一条条来看：
- 【1】 执行范围不断缩小
  递归就是数学里的递推，设计递归就是努力寻找数学里的递推公式，例如阶乘的递推公式就是f（n） n*f（n 1），很明显一定是要触底之后才能反弹。再比如斐波那契数列的递归公式为f（n）=f（n-1）+f（n-2），n也在不断缩小。这条规律可以辅助我们检查自己写的递推公式对不对。
  范围缩小不一定只体现n的变化上，在树的递归中我们会大量使用类似这样的结构：
- 每递归一次，都将范围缩小到当前节点的左子树或右子树，范围也是在不断缩小。
- int leftDepth = getDepth(node.left); int rightDepth = getDepth(node.right);
- 【2】终止条件判断在递归调用的前面
  递归之后可能还有终止条件，但是在执行递归之前，一定会有一个终止条件。这一条也可以帮助我们检查自己写的算法对不对。

2 如何写递归

明白了上面的道理，那么该怎么才能写出递归方法呢？
第一步：从小到大递推
大部分从n=1，2，3或者只有一两个元素开始写最简单。例如斐波那契序列为1 1 2 3 5 8，从n=3开始都满足f(n) = f(n-1) + f(n-2)，然后我们再选择某个比较大的n来验证即可。
我们仍然以阶乘和斐波那契数列为例来看。斐波那契数列的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34…即第一项 f(1) = 1，第二项 f(2) = 1⋯，从第三项开始就满足：
f(n) = f(n-1) + f(n-2)
这就是我们要找的递归公式。
对于阶乘也是一样的：
n=1 f（1）=1 n=2 f（2）=2 ** f(1)=2 n=3 f(3)=3* * f(2)=6 n=4 f(4)=4 * f(3)=24
由此我们可以推测出递推公式：f(n) = n * f(n-1)。
第二步：分情况讨论，明确结束条件
我们说过递归里终止条件一定是靠前的，而大部分递归的终止条件不过是n最小开始触底反弹时的几种情况。
对于阶乘，当n=1时你就应该知道f（1）=1，也就是下面这样子：
//算 n 的阶乘（假设n不为0）
int f(int n){
if(n == 1){
return 1;
}
}
有时候需要考虑的终止条件不止一个，例如斐波那契数列的递推公式f（n）=f（n-1）+f（-2）里，如果n=2时会出现f（2）=f（1）+f（0），很明显这里是没有f（0）的，所以我们要将n==2也给限制住，所以结束条件是这样的：
int f(int n){
if(n <= 2){
return 1;
}
}
有些情况不一定是触底才开始反弹，而是达到某种要求就要停止，这样需要考虑的情况会比较多。解决这类问题最直接的方式就是枚举，将可能的情况列举一下，再逐步优化。
只有列举清楚了才可能将终止条件写完整，所以在面试的时候千万不要上来就写，而应该先和面试官讨论你的设计方案，不要害怕与面试官讨论！假如有明显的缺陷他甚至会提醒你的，所以这也是借力打力的一个技巧。
第三步：组合出完整方法
将递推公式和终止条件组合起来，变成完整的方法。
算 n 的阶乘：
int factorial(int n){
if(n == 1){
return 1;
}
return factorial(n-1)*n
}
斐波那契数列的实现：
int fibonacci(int n){
//1.先写递归结束条件
if(n <= 2){
return 1;
}
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}

3 怎么看懂地柜代码

对于很多人来说，特别是刚开始学习递归的时候，最大的问题是给了答案也看不懂。另外因为调试的时候断点位置的数值一直变，让人看着晕，因此递归的代码也贼难调试。
我们先思考一个问题，上面的阶乘，如果n=4会调几次上面的 factorial(int n) 方法呢？很明显应该是4次，递归的特征就是“不撞南墙不回头”，n=4，3和2时会继续递归，而n=1时发现满足退出条件了，就执行 return 1，不再递归，而是不断返回上一层并计算。
接着再看返回时每层参数的问题，递归本质上仍然是方法调用，所以可以按照方法调用的方式来验证写的对不对。
下面这个图完整的表示了求阶乘的过程，你会发现递归不过是一个方法被调了好几次，每次n都在减小，这就是递进的过程。触底之后，也就是满足终止条件之后就开始返回了。
递进的时候当前层的n被系统给保存了，而返回的时候会自动设置回来，因此每层的n自然是不一样的，所以此时就是重新拿到当前这一层n的值完成计算即可。
例如我们将f（4）阶乘的过程如下：
底之后，也就是满足终止条件之后就开始返回了。
递进的时候当前层的n被系统给保存了，而返回的时候会自动设置回来，因此每层的n自然是不一样的，所以此时就是重新拿到当前这一层n的值完成计算即可。
例如我们将f（4）阶乘的过程如下：