Leetcode刷题笔记——动态规划之子序列问题篇

一、回文

第一题：回文子串

Leetcode647. 回文子串：中等题 （详情点击链接见原题）

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串

1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
在定义 dp 数组的时候 很自然就会想题目求什么，我们就如何定义 dp 数组
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围 [i,j] 的子串是否为回文子串，如果是则为True

2. 确定递推公式
当 s[i] 与 s[j] 不相等，dp[i][j] 一定是 false
当 s[i] 与 s[j] 相等时，有如下三种情况
case1：下标 i 与下标 j 相同，同一个字符当然是回文子串
case2：下标 i 与 j 相差为1 ，如aa的时候也是回文子串
case3：下标i 与j大于1的时候，例如cabac，此时s[i] == s[j]，判定区间[i,j]是不是回文子串就看[i + 1, j - 1]是不是回文(为True)就可以了

3. dp 数组如何初始化
dp[i][j] 初始化为 false，因为不可能一开始就全匹配上

4. 确定遍历顺序
这道题的遍历顺序有点讲究，如果按照我们的惯性思维从上到下，从左到右取遍历，那么就得不出结果
所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的
以cbabc为例，对应的 dp 数组为

python代码解法

class Solution:def countSubstrings(self, s: str) -> int:dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]result = 0  # result 用来保存回文子串的数目for i in range(len(s) - 1, -1, -1):  # 从下到上for j in range(i, len(s)):if s[i] == s[j]:if j - i <= 1:result += 1dp[i][j] = Trueelif dp[i + 1][j - 1]:result += 1dp[i][j] = Truereturn result

第二题：最长回文子串

Leetcode5：最长回文子串：中等题 （详情点击链接见原题）

给你一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。
如果字符串的反序与原始字符串相同，则该字符串称为回文字符串

python代码解法

class Solution:def longestPalindrome(self, s: str) -> str:dp = [[False] * len(s) for _ in range(len(s))]max_len = 0  # result 用来保存回文子串的数目result = ""for i in range(len(s) - 1, -1, -1):  # 从下到上for j in range(i, len(s)):if s[i] == s[j]:if j - i <= 1 or dp[i + 1][j - 1]:dp[i][j] = Trueif dp[i][j] and j - i + 1 > max_len:max_len = j - i + 1result = s[i: i + max_len]return result

二、子序列（连续）

第一题：最长重复子数组

Leetcode718. 最长重复子数组：中等题 （详情点击链接见原题）

给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度

解题思路：子数组其实就是连续子序列

1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以下标 i - 1 为结尾的 A 和以下标 j - 1 为结尾的 B，最长重复子数组的长度为 dp[i][j]【dp[i][j] 的定义决定了我们在遍历 dp[i][j]的时候 i 和 j 都要从 1 开始】

以 A=[1, 2, 3, 2, 1]，B = [3, 2, 1, 4, 7]为例，递推过程如下图所示：
dp[4][2] = 2 的含义为以 下标3为结尾的 A数组 与下标 1 为结尾的 B 数组 的最长重复子数组的长度为 2

2. 确定递推公式
dp[i][j] 的状态只能由 dp[i - 1][j - 1] 推导出来，即当 A[i - 1] 和 B[i - 1] 相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

3. dp数组如何初始化
根据 dp[i][j] 的定义，dp[i][0] 和 dp[0][j] 其实都是没有意义的【可以看成是以 i - 1 为结尾的 A 和空数组 B 的的最长重复子数组】, 故 dp[i][0] 和 dp[0][j] 初始化为 0

4. 确定遍历顺序
外层 for 循环遍历 A， 内层 for 循环遍历 B

python代码解法

class Solution:def findLength(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:n, m = len(nums1), len(nums2)result = 0dp = [[0 for _ in range(m + 1)] for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):  # 外层循环遍历 nums1for j in range(1, m + 1):  # 内层循环遍历 nums2if nums1[i - 1] == nums2[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1result = max(result, dp[i][j])# for i in dp:    # 打印 dp 数组#     print(i)return result

第二题：最长连续递增序列

Leetcode674. 最长连续递增序列：简单题 （详情点击链接见原题）

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度

解题思路：
1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]: 以下标 i 为结尾的连续递增的子序列长度为 dp[i](注意这里说以下标 i 为结尾，并没说一定以下标 0 为起始位置)

2. 确定递推公式
如果 nums[i] > nums[i -1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度一定等于 以 i - 1 为结尾的连续递增的子序列长度 + 1
递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + 1
本题要求的是连续递增子序列，所以只需要比较 nums[i] 与 nums[i - 1]，而不用去比较 nums[j] 与 nums[i]【j 在 0 到 i 之间遍历】

3. dp数组如何初始化
以下标 i 为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是 1，即 nums[i] 这一个元素

4. 确定遍历顺序
从递推公式上可以看出，dp[i ] 依赖 dp[i - 1]，所以一定是从前向后遍历

python代码解法(dp思路)

class Solution:def findLengthOfLCIS(self, nums: List[int]) -> int:dp = [1] * len(nums)for i in range(1, len(nums)):if nums[i] > nums[i - 1]:dp[i] = dp[i - 1] + 1return max(dp)

python代码解法(滑窗思路)

class Solution:def findLengthOfLCIS(self, nums: List[int]) -> int:left, right = 0, 1ans = 1while right < len(nums):if nums[right] <= nums[right - 1]:left = rightans = max(ans, right - left + 1)right += 1return ans

第三题:最大子数组和

Leetcode53. 最大子数组和：中等题 （详情点击链接见原题）

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和

1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：包括下标 i (以 nums[i] 为结尾)的最大连续子序列和为 dp[i]

2. 确定递推公式
dp[i] 只有两个方向可以推导出来：因为 dp[i - 1] < 0 的话会拉低连续子序列的和，如果拉低还不如直接从当前 nums[i] 开始算）
dp[i - 1] + nums[i]，即加入 nums[i] 后的连续子序列和（
nums[i]：从头开始计算当前连续子序列和

3. dp数组如何初始化
dp[0] = nums[0]

4. 确定遍历顺序

递推公式中 dp[i] 依赖于 dp[i - 1] 的状态，需要从前向后遍历

注：我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个 i 为终点的连续最大子序列

python代码解法

class Solution:def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:dp = [0] * len(nums)dp[0] = nums[0]for i in range(1, len(nums)):dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])# print(dp)return max(dp)

三、子序列（不连续）

第一题: 最长递增子序列

Leetcode300. 最长递增子序列：中等题 （详情点击链接见原题）

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序

解题思路：
相对于 Leetcode674. 最长连续递增序列 这一题，本题最大的区别在于不连续

1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义

dp[i]：表示 i 之前包括 i 的以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度

2. 确定递推公式
位置 i 的最长升序子序列等于 j 从 0 到 i - 1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值

if nums[i] > nums[j]:dp[i] = max(dp[i], dp[j + 1])  # 注意这里不是要 dp[i] 与 dp[j] + 1 进行比较, 而是取dp[j] + 1的最大值

3. dp 数组如何初始化
每一个i，对应的 dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是 1

4. 确定遍历顺序
dp[i] 是有0到i - 1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历 i 一定是从前向后遍历
j 其实就是遍历 0 到 i - 1， 那么是从前到后还是从后到前都可以

python代码解法

class Solution:def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:dp = [1] * len(nums)for i in range(1, len(nums)):for j in range(0, i):if nums[i] > nums[j]:dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)# print(dp)return max(dp)

第二题：最长公共子序列

Leetcode1143：最长公共子序列：中等题 （详情点击链接见原题）

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0

1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为 [0, i - 1] 的字符串 text1 与长度为 [0, j - 1] 的字符串 text2 的最长公共子序列为 dp[i][j]

2. 确定递推公式

3. dp 数组如何初始化
dp[i][0]：text1[0, i - 1] 和空串的最长公共子序列是0，dp[i][0] = 0，同理 dp[0][j] = 0

4. 确定遍历顺序
从前向后，从上到下来遍历

python代码解法

class Solution:def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:n, m = len(text1), len(text2)dp = [[0 for _ in range(m + 1)] for _ in range(n + 1)]for i in range(1, n + 1):for j in range(1, m + 1):if text1[i - 1] == text2[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1else:# text1[0, i - 2] 与 text2[0, j - 1]的最长公共子序列# text1[0, i - 1] 与 text2[0, j - 2]的最长公共子序列dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])return dp[n][m]

第三题:不相交的线

Leetcode1035. 不相交的线：中等题 （详情点击链接见原题）

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数

四、编辑距离

第一题:判断子序列

Leetcode392. 判断子序列：简单题 （详情点击链接见原题）

给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。

解题思路
1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为 [0, i - 1] 的字符串 s 与长度为 [0, j - 1] 的字符串 t 的相同子序列的长度为 dp[i][j]
注：判断 s 是否为 t 的子序列。即 t 的长度是大于等于 s 的

2. 确定递推公式

if s[i - 1] == t[i - 1]:    # t中找到一个字符在s中也出现了dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
if s[i - 1] != t[i - 1]:    # 相当于 t 要删除元素，继续匹配dp[i][j] = dp[i][j - 1]

3. dp 数组如何初始化
dp[i][j] 是依赖于 dp[i - 1][j - 1] 的，所以 dp[0][0] 和 dp[i][0] 是一定要初始化的

4. 确定遍历顺序
dp[i][j] 都是依赖于 dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以应该从前向后，从上到下来遍历

5. 举例推导dp数组

由于 dp[i][j] 表示以下标 i - 1 为结尾的字符串 s 和以下标 j - 1 为结尾的字符串 t 相同子序列的长度，所以如果 dp[len(s)][len(t)] 与字符串 s 的长度相同说明：s 与 t 的最长相同子序列就是 s，那么 s 就是 t 的子序列

python代码解法

class Solution:def isSubsequence(self, s: str, t: str) -> bool:dp = [[0 for _ in range(len(t) + 1)] for _ in range(len(s) + 1)]for i in range(1, len(s) + 1):for j in range(1, len(t) + 1):if s[i - 1] == t[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1else:dp[i][j] = dp[i][j - 1]return True if dp[len(s)][len(t)] == len(s) else False

第二题: 不同的子序列

Leetcode115. 不同的子序列：困难题 （详情点击链接见原题）

给你两个字符串 s 和 t ，统计并返回在 s 的 子序列 中 t 出现的个数，结果需要对 10的9次方 + 7 取模

解题思路：
本题相对于编辑距离还是比较简单的，因为本题只有删除操作，本题求的是 s 里面有多少个像 t 这样的子序列，其实就是问这个 s 字符串中有多少种删除元素的方式使得 s 可以变成 t，

1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]: 以 i - 1 为结尾的 s 子序列种出现以 j - 1 为结尾的 t 的 个数为 dp[i][j]

2. 确定递推公式
case1: s[i - 1] 与 t[j - 1] 相等
s：bagg t: bag
s[3] 和 t[2] 是相同的，但是字符串 s 也可以不用 s[3] 来匹配，s[0]s[1]s[2] 和 s[0]s[1]s[3] 组成的 bag
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]

不需要考虑 s 和 t 的最后一位字母，只需要用 dp[i - 1][j - 1]
case2: s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等
当 s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j] 只有一部分组成，不用 s[i - 1] 来匹配

3. dp 数组如何初始化
由递推公式可知: dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]; 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]，dp[i][j] 是从上方和左上方推导而来的，所以 dp[i][0] 和 dp[0][j] 是一定要初始化的
dp[i][0]: 以下标 i - 1为结尾的 s 删除所有元素，出现空串t【即一种删除所有元素的方式】
dp[0][j]: 空串 s 无论怎么都变成不了 t，所以 dp[0][j] = 0
dp[0][0] = 1: 空字符串 s 可以删除 0 个元素变成空字符串 t

4. 确定遍历顺序

5. 举例推导dp数组

python代码解法

class Solution:def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:dp = [[0 for _ in range(len(t) + 1)] for _ in range(len(s) + 1)]for i in range(len(s)):dp[i][0] = 1for j in range(1, len(t)):dp[0][j] = 0for i in range(1, len(s) + 1):for j in range(1, len(t) + 1):if s[i - 1] == t[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]else:dp[i][j] = dp[i - 1][j]return dp[len(s)][len(t)]

第三题:两个字符串的删除操作

Leetcode583. 两个字符串的删除操作：中等题 （详情点击链接见原题）

给定两个单词 word1 和 word2 ，返回使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数

解题思路
相对于上一题而言，其实就是两个字符串都可以删了
1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]: 以 i-1 为结尾的字符串 word1，和以 j-1 位结尾的字符串 word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数

2. 确定递推公式

• 当 word1[i - 1] 与 word2[j - 1] 相同的时候【不用删除元素】dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
• 当 word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候：dp=min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1, dp[i - 1][j - 1] + 2)
  • case1：删 word1[i - 1]，最少操作次数为 dp[i - 1][j] + 1
  • case2: 删 word2[j - 1]，最少操作次数为 dp[i][j - 1] + 1
  • case3：同时删 word1[i - 1] 和 word2[j - 1]，最少操作次数为 dp[i - 1][j - 1] + 2

3. dp 数组如何初始化
从递推公式中，可以看出来，dp[i][0] 和 dp[0][j] 是一定要初始化的
dp[i][0]：word2 为空字符串，以 i-1 为结尾的字符串 word1 要删除多少个元素，才能和 word2 相同呢，很明显 dp[i][0] = i, dp[0][j] = j

4. 确定遍历顺序
从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] 可以看出 dp[i][j] 都是根据左上方、正上方、正左方推出来的

5.举例推导DP数组
以 word1:sea，word2:eat 为例

python代码解法

class Solution:def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:dp = [[0 for _ in range(len(word2) + 1)] for _ in range(len(word1) + 1)]for i in range(len(word1) + 1):dp[i][0] = ifor j in range(len(word2) + 1):dp[0][j] = jfor i in range(1, len(word1) + 1):for j in range(1, len(word2) + 1):if word1[i - 1] == word2[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]else:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1)return dp[len(word1)][len(word2)]

第四题:编辑距离

Leetcode72. 编辑距离：中等题 （详情点击链接见原题）

给你两个单词 word1 和 word2， 请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数`

1. 确定 dp 数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：表示以下标 i - 1 为结尾的字符串 word1 和以下标 j - 1 为结尾的字符串 word2，最近的编辑距离为 dp[i][j]

2. 确定递推公式
if word1[i - 1] != word2[j - 1]
操作1: word1 删除一个元素，那么就是以下标 i - 2 为结尾的 word1 与 j-1 为结尾的 word2 的最近编辑距离 再加上一个操作dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
操作2：word2 删除一个元素，那么就是以下标 i - 1 为结尾的 word1 与 j-2 为结尾的 word2 的最近编辑距离 再加上一个操作，dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1

添加元素怎么操作呢？word2 添加一个元素，相当于 word1 删除一个元素
比如 word1 = 'ad'， word2 = 'a'，word1 删除元素 d ，word1 = 'a'， word2 = 'a'【操作一次】
和 word2 添加一个元素 d，word1 = 'ad'， word2 = 'ad'【操作一次】

操作3：替换元素
word1 替换 word1[i - 1] 使其与 word2[j - 1] 相同，此时不用增删元素，只需一次替换操作就可以让 word1[i - 1] 和 word2[j - 1], dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

if word1[i - 1] == word2[j - 1]:  # 既然两个元素相同dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]   # 考虑以 i - 2 为下标结尾的 word1 和以 j - 2为下标结尾的 word2 的最近的编辑距离
if word1[i - 1] != word2[j - 1]:  # 有增，删，和替换三种操作]dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1

3. dp 数组如何初始化
dp[i][0] ：以下标 i-1 为结尾的字符串 word1，和空字符串 word2，最近编辑距离为 dp[i][0]，dp[i][0] = i 即对 word1 里面的元素全部都做删除操作

4. 确定遍历顺序

• dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
• dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
• dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
• dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
  可以看出 dp[i][j] 是依赖左方，上方和左上方元素的，所以 dp 矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历

python代码解法

class Solution:def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:dp = [[0 for _ in range(len(word2) + 1)] for _ in range(len(word1) + 1)]for i in range(0, len(word1) + 1):dp[i][0] = ifor j in range(0, len(word2) + 1):dp[0][j] = jfor i in range(1, len(word1) + 1):for j in range(1, len(word2) + 1):if word1[i - 1] == word2[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]else:dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1return dp[len(word1)][len(word2)]