3.4.3 模糊化及其推理的影响

前一篇博客“【模糊逻辑】Type-1 Fuzzy Systems-1”我们得到了输出的模糊集MF
$${\mu }_{B^l}(y|\text{x})=f^l(\text{x})★{\mu }_{G^l}(y),y\in Y$$
其中$f^l(\text{x})$为firing level表示如下
f l ( x ) = T i = 1 p { s u p x i ∈ X i [ μ X i ( x i ∣ x ) ★ μ F i l ( x i ) ] } f^l(\textbf{x})=T_{i=1}^p\{sup_{x_i\in X_i}[\mu_{X_i}(x_i|x)\bigstar\mu_{F_i^l}(x_i)]\} fl(x)=Ti=1p​{supxi​∈Xi​​[μXi​​(xi​∣x)★μFil​​(xi​)]}
本节将针对firing level进行分析，可以对每个x进行分析，即$f^l(x_i)=su{p}_{x_i\in X_i}{\mu }_{X_i}(x_i|x)★{\mu }_{F_i^l}(x_i)$来进行分类分析。
接下来，将从Singleton模糊器和Non-Singleton模糊器来分别进行分析。

3.4.3.1 Singleton Fuzzifier

根据single fuzzification的定义
$${\mu }_{A^{\ast }}=\{\begin{array}{lr}1,x=x^{{}^{\prime }}& \\ 0,x\ne x^{{}^{\prime }}& \end{array}$$
则${\mu }_{X_i}(x_i|x^{\prime })$存在唯独单点非零，令该点$x_i=x_i^{\prime }$，则有
$$f^l(x_i)=su{p}_{x_i\in X_i}{\mu }_{X_i}(x_i|x_i^{\prime })★{\mu }_{F_i^l}(x_i)=1★{\mu }_{F_i^l}(x^{\prime })={\mu }_{F_i^l}(x_i^{\prime })$$

由此firing level有以下表达式
$$f^l(\text{x})=T_{i=1}^p{\mu }_{F_i^l}(x_i^{\prime })$$
可以发现，此时的表达式，相较于先前的sup-star表达式，简化了很多；这也就是这个表达式非常著名的原因！
当然了这个表达式，还存在很多问题，尤其是应对现实场景，存在测量噪声和测量误差；在这种情况下，往往需要引入non-singleton fuzzification来分析。

由此得到Mamdani fuzzy system下的输出模糊集
$${\mu }_{B^l}(y|{\text{x}}^{\prime })=T_{i=1}^p{\mu }_{F_i^l}(x_i^{\prime })★{\mu }_{G^l}(y),y\in Y$$

例3.5

假设现在有一个规则${\mu }_{F_i}(x_i)$，分别有singleton fuzzfication具体的值$x_1^{\prime }$和$x_2^{\prime }$，其中规则、具体的非零点分别由下图的虚线和深蓝色线表示。
根据T-norm的定义不同，分为min和prod，由此得到对应不同的firing level的结果。

例3.6

例3.5是在某一个规则下计算的firing level。本例子使用两个规则，分别为$l_1$和$l_2$。类似例3.5，可以计算得到对应的firing level，即下图中的${\mu }^{l_i}$。类似的，根据T-norm的定义不同，分为min和prod，得到对应不同${\mu }_{Y^{l_i}}$

3.4.3.2 Non-Singleton Fuzzifier

对于Non-Singleton Fuzzification定义如下
$$f^l(x_i^{\prime })=su{p}_{x_i\in X_i}{\mu }_{X_i}(x_i|x^{\prime })★{\mu }_{F_i^l}(x_i)\equiv \underset{x_i\in X_i}{\sup }{\mu }_{Q_i^l}(x_i|x_i^{\prime })$$
由于此时${\mu }_{X_i}(x_i|x^{\prime })$不再是单点非零函数，所以整体是计算变得更加复杂。
大致需要分为两步计算：

1. 首先计算${\mu }_{Q_i^l}(x_i|x_i^{\prime }),l\in L,i\in P$
2. 然后根据$\arg {\sup }_{x_i\in X_i}{\mu }_{Q_i^l}(x_i|x_i^{\prime })$得到$x_{i,max}^l$和$f^l(x^{\prime })={\mu }_{Q_i^l}(x_{i,max}^l|x_i^{\prime })$

由此得到Non-Singleton Fuzzifier的firing level
$$f^l({\text{x}}^{\prime })=T_{i=1}^P{\mu }_{Q_i^l}(x_{i,max}^l|x_i^{\prime })$$
通过比较Singleton Fuzzifier的firing level，可以发现Non-Singleton Fuzzifier的firing level，对于输入的x’进行了预滤波，生成服从规则的$x_{i,max}^l$，如下图所示，不难发现这种预滤波的功能是sup-star天然存在的性能，即内部自然生成。区别于当下火热的神经网络，其滤波无法自然生成。

例3.7 Non-Singleton Fuzzifier 量化求解 Firing Level

假设现在的MF为高斯，其中第i各输入模糊集和对应的规则前置模糊集表示如下

计算的整体思路如下：

• 【两条虚线到黑实线】首先根据T-norm的定义不同，分为min和prod，计算${\mu }_{Q_i^l}(x_i|x_i^{\prime }),l\in L,i\in P$，即下图加粗黑色实线；
• 【黑实线的最大值】然后根据$\arg {\sup }_{x_i\in X_i}{\mu }_{Q_i^l}(x_i|x_i^{\prime })$得到$x_{i,max}^l$和$f^l(x^{\prime })={\mu }_{Q_i^l}(x_{i,max}^l|x_i^{\prime })$，即在规则$l$下，找到每个加粗黑色实线的最大值；
• 【红色引导线，求firing level】最后根据$f^l({\text{x}}^{\prime })=T_{i=1}^P{\mu }_{Q_i^l}(x_{i,max}^l|x_i^{\prime })$，求min/prod，得到firing level。
  
  计算的具体步骤如下：
  
  如果当下的每个输入都有相似的不确定性，则不确定中的方差则相同，上面的表达方式可以进一步统一，例如时间序列来说则往往服从这个假设
  
  此时，我们一起来考虑一个问题：
  对于singleton fuzzification的firing level来说，其主要由大量$F_i^l$共同作用产生；
  那么对于Non-singleton fuzzification的firing level来说，其主要由大量${\mu }_{Q_i^l}(x_{i,max}^l|x_i^{\prime })$共同作用产生。
  根据以上的3.7例子中，这两者的表达式分别为
  
  可以发现，下式的方差更大，对于MF来说则更大。这里具体举例了两条Guassion来直观理解
  

综上来说，Non-singleton fuzzification相较于singleton fuzzification的firing level数值更大，可以引起更多规则的触发（fire）。

• 一个有趣的理解，对于singleton fuzzification来说，Non-singleton fuzzification可以通过改变输入的不确定性，即改变X的方差，来将Non-singleton fuzzification逼近与singleton fuzzification，即X的方差为零时就变成了singleton fuzzification。所以也可以理解为，对于这个例子来说，Non-singleton fuzzification的表达式也包含了对singleton fuzzification的诠释。
• 另外，MF的不确定性会导致更多的规则被触发，作为对抗并弥补这种不确定性的影响。

3.5 对规则触发（Fired-Rule）的输出集进行组合

回到先前我们已经学过的第一类模糊系统，我们已经完成了模糊化器、推理引擎、规则触发的分块以及级联的思考。现在我们得到了输出的模糊集。值得注意的是，由于可能触发了不同的规则，所以我们得到的输出集可能不止一个。而对于去模糊化来说，即一个精确化系统来说，需要一一对应，无法类似模糊化系统一样。所以在去模糊化之前，需要先对输出集进行组合。

3.5.1Mamdani 模糊系统：使用集合论运算进行组合

这里主要介绍利用集合论的思考，将规则触发了的输出集进行组合

3.6 去模糊化（Defuzzification）

对于去模糊化，我们的最终目标需要将以上得到的映射在一个实数上。
以下介绍几种常见的去模糊化方法。

3.6.1 Mamdani 模糊系统：质心去模糊器（Centroid Defuzzifier）

基本思想是：对输出的集合B，离散为N点。然后利用这N点的MF值求质心。

3.6.2 Mamdani 模糊系统：高度去模糊器（Height Defuzzifier）

基本思想是：代替融合了所有规则触发的输出集，根据每个规则的输出，仅使用该输出的单一值，即MF最大值，来进行计算。

考虑到质心去模糊器的计算复杂度极大，所以产生了这种极简模糊器，因为规则$l$往往远小于3.6.1的离散点数N。
如下图，可以对质心去模糊器（b）和高度去模糊器（a）进行简单理解

3.6.3 Mamdani 模糊系统：改进版高度去模糊器（Modified Height Defuzzifier）

基本思想：由于高度去模糊化器仅仅只是利用了各规则触发输出的最高值，忽略了大量其他信息，例如MF的形状，分布等。所以改进版主要是将MF的方差也考虑其中，即将最高值除以方差，作为最终计算的输入，以得到结果。
$$y_{ms}(\text{x})=\frac{{\sum }_{l=1}^M{\bar{y}}^l{\mu }_{B^l}({\bar{y}}^l)/({\sigma }^l{)}^2}{{\sum }_{l=1}^M{\mu }_{B^l}({\bar{y}}^l)/({\sigma }^l{)}^2}$$

3.6.4 Mamdani 模糊系统：COS Defuzzifier

基本思想是：延续高度去模糊化的思考，同时考虑到原先这个去模糊化器缺少对各规则触发输出的MF大量的信息，所以由结合了质心去模糊化器的思想——分别对每个规则触发输出的MF求质心，然后将其作为单一值$c^l$，来进行最终的结果计算

3.8 模糊基函数

综合上次博客和这次博客，我们基本将整个第一类模糊系统的框架中各个模块进行了梳理
现在，我们需要整理出一个输入输出的映射关系，即$y=f({\text{x}}^{\prime })$
但是，大家也可以想想，一路而来，我们学习了些什么

• 且不考虑t-norm就分为min和prod
• fuzzifier有singleton和non-singleton
• inference和rule，我们其实是学习了6种常见的rule的
• defuzzifier介绍有四种去模糊化器

所以说，如果想将这些都大一统在一个表达式中，似乎从当前这个思考维度上是无法将其都统一起来的（当然指不定，在更高维度，能够将这些看似毫不相关的组合，都组合起来哈——至今也没有定论呢）

以下举例一两个常见的组合，感兴趣的可以看下，在书里还有关于TSK fuzzy system的一些案例，因为本博客主要就是对Mamdani fuzzy system进行讲述，所以就不放上来了。

模糊基函数定义