强化学习算法的基本思想（直觉）

众所周知，强化学习是能让智能体实现某个具体任务的强大算法。
强化学习的基本思想是让智能体跟环境交互，通过环境的反馈让智能体调整自己的策略，从反馈中学习，不断学习来得到最优的策略（即以最优的方式实现某个具体任务）。

形式化强化学习的直觉（将算法的直觉变成可以量化的数学形式）

经过大量的研究，人们探索出一种适用于实现强化学习这个目标的数学框架——马尔科夫决策过程。
其实这个框架也不复杂，通过理解强化学习的思想，想想就知道起码得有这些简单的东西：

1. 智能体的动作（肯定要行动，才能达成某个任务的目的）
2. 环境的状态（智能体要根据环境状态决定自己要怎么样行动）
3. 环境的反馈（智能体每次行动完，需要得到反馈才能知道自己的行动好还是不好）

仅仅从直觉上看差不多是这三个，因为直觉还是比较抽象的，要带入实际的案例才会发现还缺少哪些东西。
比如随便想想，下围棋的时候，是不是从下棋一开始到胜利都全部被智能体接管了，所以在这个过程中智能体需要连续进行行动，那么问题就来了，我定义只有下棋最终胜利的那一步行动才有奖励（正反馈），其余行动都没有奖励，这个定义很合理吧，但是在这个过程中每一步都没有奖励，也就相当于没有反馈，那智能体还怎么学习呢？
所以这个时候又要靠直觉思考一下，虽然围棋在胜利前每一步都没有奖励，但是这并不代表每一步都没有价值，如果是一个围棋高手，他下的每一步棋都是为了最后的胜利而铺垫的，可以说每一步棋的价值都很大。所以直觉上想通了，怎么把直觉转化为数学上可以精确量化的定义呢？
其实可以使用累积奖励作为该行动的价值，具体就是从当前状态出发，一直按照某个决策行动下去，到最后游戏结束得到的奖励总和，公式很简单就是$G(S_t)={\Sigma }_{k=t}{R}_{k+1}$，即表示从时刻t开始，棋盘状态为S，该时刻的状态按照智能体的策略一直执行下去，到最终游戏结束，得到的奖励累计之和，就用这个表示当前状态S的价值。不过实操起来还是有问题，第一，我希望以尽可能短的步数赢下比赛，而这个公式似乎没有对于步数的惩罚，1000步赢下比赛和100赢下比赛的奖励总和是一样的，所以要进行修正，这里我们引入一个折扣因子$\gamma \in [0,1]$，每走一步就要将当前行动得到的奖励乘以$\gamma$，这样步数越多，最后得到的奖励越少，公式是：$G(S_t)={\Sigma }_{k=0}{\gamma }^k{R}_{t+k+1}$。
这样看起来就很完美了是吧？还没完，这个累加公式看起来很不错，但是缺少了关键的信息，这个公式是把每次行动后跳到一个状态时得到的奖励进行折扣累加，但是我怎么知道从一个状态做出行动后会跳到哪一个动作呢？假设t时刻，环境处于状态$S_t$，智能体进行行动$A_t$之后，环境变成什么样子了？即我想知道某个状态执行某个动作之后，跳转到下一个状态这之间的映射关系，即$S_{t+1}=f(S_t,A_t)$这个函数具体是什么样子，不过这个函数映射的形式是确定性的，就是说$S_t$和$A_t$确定了之后，$S_{t+1}$也就唯一确定了，但很多情况往往是不确定的，比如你每学期你的状态都是摆烂，然后考试前你的行动都是通宵复习，但有时候你挂科了，有时候你及格了，还有时候你满分了，这就是不确定的，这是有概率的，当然在及格边缘的概率更大，所以我们定义这个环境变换的映射情况就叫做状态转移概率，即$P(S_{t+1}\mid S_t,A_t)$。当然对于游戏来说都是一般都是确定的，概率直接为1或者0就行。
总结一下，马尔科夫决策模型包含以下几个东西：

1. $S$：环境状态的集合
2. $A$：智能体动作的集合
3. $r(s,a)$：每个状态下行动后得到奖励函数，人为定义
4. $P(s^{\prime }\mid s,a)$ ：环境的状态转移概率
5. $\gamma$：折扣因子

马尔科夫决策过程终于写完了，啰啰嗦嗦写了一大堆，强化学习的思想直觉两句话就搞定，把强化学习的思想形式化需要写这么多，看来直觉是不负责任的，将直觉转化成数学才是负责任的，难的东西。终于知道为什么有的论文明明很简单的方法，却能写那么多页了，因为将直觉形式化、数学化这中间有很多细节需要商榷和讨论。

不过这还只是强化学习算法的前提框架，在这个框架下各种算法的挖掘才是大头。

利用马尔科夫决策过程提供的抽象框架来真正得到最优决策

写累了，前面说一大堆，其实最后都是为了能够求解出智能体针对某个具体任务的最优决策。有了前面的基础，后面的求解算法其实没那么复杂了，我也写累了，所以这部分直接精简逻辑，让最本质的东西呈现出来，很简单。
我们想得到最优策略，这只是直觉上，还是那句话，形式化到数学上，其实就是最大化累计奖励。从某个状态出发，智能体进行一系列的决策已经得到了最大的累计奖励，再也没有别的决策能得到比这个决策更大的累计奖励了，所以自然该决策就是最优决策。
现在这个圈子内把这个累计奖励直接叫做回报（Return），用$G_t$表示从t时刻（或者从某个状态开始）一直到结束得到的累计奖励，那么随便游戏从什么时候什么状态开始，我都希望该智能体的决策能够得到最大化的回报。
$\pi$代表的是智能体的策略，更具体一点，就是在状态$s$下采取行动$a$的策略，同样，策略一般也是用一个概率分布表示，即$\pi (a\mid s)$。前面说到用累计奖励作为状态的价值，其实就是用某个状态的回报作为该状态的价值，不过因为回报$G_t$其实是一个随机变量，由状态转移概率$p(s^{\prime }|s,a)$和$\pi (a|s)$这两个分布决定，所以不好直接量化状态的价值，不过随机变量的期望是一个确定的值，可以作为量化的标准，所以很自然的，某个状态s的价值就可以化为这样一个状态价值函数：$v_{\pi }(s)=E(G_t|S_t=s)$，这个方程表示从t时刻开始，环境的状态是$s$，在这个给定的条件下，$G_t$（回报）的期望就是状态s的价值。
那现在其实就秀一下数学推理能力，把$v_{\pi }(s)=E(G_t|S_t=s)$这个公式展开，然后经过三四步推理，很容易就能得到（推理要注意条件期望怎么展开怎么求，这一步有点绕，不过小心点还是很容易就能推出来）：$$v_{\pi }(s)=E[R_{t+1}+\gamma v_{\pi }(s^{\prime })]$$这就是贝尔曼方程，即当前状态$s$的价值可以用下一个状态$s^{\prime }$的价值来表示。贝尔曼最优方程就是价值最大的那个$v_{\pi }^{\ast }=ma{x}_{\pi }v(s)$。
那这个时候不要忘记我们的初心，我们如果得到了最大的$v(s)$，代表当前的策略是最优的策略，但这个最优的策略我怎么形式化表示出来呢？换句话说，处于状态$s$时，我要选择什么样的动作a呢？显然在状态s下，我要选择价值最大的那个$a$，这个价值最大是不是很熟悉，同理我们也可以定义状态-动作函数$q_{\pi }(s,a)$，那这个$q_{\pi }(s,a)$等于什么呢？还是跟之前一样的，还是用累计奖励呗！$$q_{\pi }(s,a)=E[R_{t+1}+\gamma q_{\pi }(s^{\prime },a^{\prime })|S_t=s,A_t=a]$$
直观来看$q_{\pi }(s,a)$与$v_{\pi }(s)$应该满足这样的关系：在状态s下，智能体可以有多个动作可以选择：$a_1,a_2,...$，所以$v_{\pi }(s)$应该是$q_{\pi }(s,a)$关于a的期望，即：$v_{\pi }(s)={\Sigma }_{a\in A}\pi (a|s)q_{\pi }(s,a)$
言归正传，我要得到最优策略的形式化表述，其实就是希望在每个状态下面采取价值最大的那个行动，即希望找到$q_{\pi }^{\ast }(s,a)=ma{x}_{\pi }q(s,a)$。那么根据$v_{\pi }(s)$和$q_{\pi }(s,a)$的关系，其实可以推导出来$$q_{\pi }(s,a)=R_s^a+\gamma {\Sigma }_{s^{\prime }\in S}{P}_{s{s}^{\prime }}^a{v}_{\pi }(s^{\prime })$$。那其实问题就解决了，找到最优的$v_{\pi }^{\ast }=ma{x}_{\pi }v(s)$就行了。
那该怎么求解$v_{\pi }^{\ast }$呢？