初识二叉树

文章目录

一.什么是树
二.什么是二叉树
三.二叉树的访问次序
四.特殊的二叉树
五.求结点个数
六.平衡二叉树
总结

一.什么是树

树是由一个集合以及在该集合上定义的一种关系构成的。集合中的元素称为树的节点，所定义的关系称为父子关系。父子关系在树的节点之间建立了一个层次结构。在这种层次结构中有一个节点具有特殊的地位，这个节点称为该树的根节点，或称为树根。

结点

结点是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。

结点的度

结点拥有的子树数目称为结点的度。

二.什么是二叉树

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

特点

1.每一个节点最多有两棵子数，及二叉树不存在度大于二的节点

2.二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能够颠倒

3.任何一个二叉树都有三部分，根节点左子树右子树

结构

typedef int	BTDataType;
typedef struct Binary TreeNode
{struct Binary TreeNode* left;//左孩子struct Binary TreeNode* right;//右孩子BTDataType data;//数据
}BTNode;

三.二叉树的访问次序

3.1前序遍历 (根结点 > 左子树 > 右子树)

主要是利用了函数递归的方法去遍历,先根节点左子树右子树不断地去调用自己

void PreOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL)return;printf("%d", root->data);//根PreOrder(root->left);//左子树PreOrder(root->right);//右子树}

3.2中序遍历和后序遍历

void MidOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL)return;MidOrder(root->left);//左子树printf("%d", root->data);//根MidOrder(root->right);//右子树
}void afterOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL)return;afterOrder(root->left);//左子树afterOrder(root->right);//右子树printf("%d", root->data);//根
}

3.3层序遍历

前中后序遍历其实也叫深度优化遍历，序遍历叫广度优化遍历

我们利用队列来实现层序遍历

核心思路：上一层带下一层的

先创造一个队列，如果跟节点不为空的话，把根节点放入这个队列中，循环的判断条件被列中没有元素就停下来，有元素就继续去队列投元素，放入树的头，然后再删去队列这个元素，然后把删去元素所对应的左子树和右子树放入，一层一层的遍历

void LeveOrder(BTNode* root)
{//创建队列Queue q;Queue Init(&q);//如果根节点不为空，在队列里放入if (root != NULL){QueuePush(&q, root);}while (!QueueEmpty(&q)){//删去元素所对应的左子树和右子树放入一层一层的遍历BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);printf("%c", front->data);if (front->left != NULL){QueuePush(&q, front->left);}if (front->right != NULL){QueuePush(&q, front->right);}}printf("\n");QueueDestory(&q);
}

四.特殊的二叉树

4.1满二叉树

假设一个满二叉树的高为h，则它的总结点个数为N,则高为2^0+2^1+....+2^(h-1)=N，h=log2（N+1)

4.2完全二叉树

特征：1.前n-1层是满的。2.最后一层不满，但最后一层从左往右都是连续的

特别公式：对于任何一颗二叉树，如果度为零的叶子节点个数为n0，度为二的分支节点个数为n2则n0=n2+1。

例：存在一个2n个结点的完全二叉树，则它的叶子结点大小的个数为__

完全二叉树度为1的结点个数要么是1个，要么没有。设度为0的结点为x0，度为1的为x1，度为二的为x2,所以说套入两个公式，x0+x1+x2=2n，x0=x2+1.可以算出2x0+x1-1=2n，又因为完全二叉树所以x1为0或者1，带入可得n或者2n+1/2

五.求结点个数

其实二叉树还有一个平衡结构，叫做平衡二叉树，需要非常灵活的掌握函数递归和分治的思想，所以我们先来利用递归和分治思想来求一下结点

5.1求叶子结点的个数

利用递归和分治的思想

int TreeLeafsize(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;//如果左子树和右子树都为空说明找到了一个叶子结点，返回1if (root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;//利用函数递归的思路，先左子树在右return TreeLeafsize(root->left) + TreeLeafsize(root->right);
}

5.2求总结点个数

void Treesize(BTNode* root, int* psize)
{if (root == NULL){return;}//是结点就加加else{(*psize++);}//也是递归，分治先左子树在右子树Treesize(root->left,psize);Treesize(root->right,psize);
}

六.平衡二叉树

定义：平衡二叉树也叫AVL树，它或者是一颗空树，或者具有以下性质的二叉排序树：它的左子树和左子树的高度之差(平衡因子)的绝对值不超过1，且它的左子树和右子树都是一颗平衡二叉树。

6.1二叉树的深度

分治思路:如果为空高度直接为零，非空就分解子问题，先求左右指数的深度，我的深度等于左右，质数深度大的大小，加1。

int maxDepth(BTNode* root)
{if (root == NULL)return 0;int leftDepth = maxDepth(root->left);int rightDepth= maxDepth(root->right);//左边的深度如果大于右边的话，就加1反之右边加1return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}

6.2平衡树的判断

bool isBalaned(BTNode* root)
{//第一种情况，如果为空的话就是的if (root == NULL)return true;//利用深度函数来求出左右子树的深度int leftDepth = maxDepth(root->left);int rightDepth = maxDepth(root->right);//利用递归判断高度差的绝对值不超过1，左右都要是平衡二叉（递归）return abs(leftDepth - rightDepth) < 2 && isBalaned(root->left) && isBalaned(root->right);
}