本篇为本科课程《电力系统稳分析》的笔记。

本篇为第二章的第一篇笔记。

电力系统正常运行中，可以认为系统的三相结构和三相负荷完全对称。而对称三相的计算可以用一相来完成，其中所有给出的标称电压都是线电压的有效值，假定系统全部是Y-Y型连接，不是Y-Y型连接的全部要变换成Y-Y型连接，在这种情况下线电压为相电压的$\sqrt{3}$倍，即${\dot{U}}_L=\sqrt{3}{\dot{U}}_P$，而线电流等于相电流，即${\dot{I}}_L={\dot{I}}_P$。三相系统的计算公式为：

$$\begin{gathered} \dot{U}=\sqrt{3}Z\dot{I} \\ \tilde{S}=\sqrt{3}\dot{U}{\dot{I}}^{\ast }=\sqrt{3}UI\angle ({\theta }_u-{\theta }_i)=\sqrt{3}UI\angle \phi =S(\cos \phi +j\sin \phi )=P+jQ \end{gathered}$$

其中，$\tilde{S},S,P,Q$分别表示三相复功率、三相视在功率、三相有功功率、三相无功功率，$U$是线电压有效值，${\theta }_u$是相电压相角，$I$是线电流有效值，${\theta }_i$是相电流相位，${\dot{I}}^{\ast }$是$\dot{I}$的共轭，$Z$是一个相的阻抗，$\phi ={\theta }_u-{\theta }_i$是功率因数角。

阻抗用$Z=R+jX$表示，导纳用$Y=G+jB$表示：

1. 对于感性情况，X取正，B取负。
2. 对于容性情况，X取负，B取正。

电力线路的数学模型

电力线路的电路等效可以是下图。

可以不断向右级联。原参数有$R_0,G_0,L_0,C_0$。

可以根据参数求出波阻抗$Z_C=\sqrt{\frac{R_0+j\omega L_0}{G_0+j\omega C_0}}$和传播系数$\Gamma =\sqrt{(R_0+j\omega L_0)(G_0+j\omega C_0)}$。

线路的电阻

有色金属导线的直流电阻计算为：
$$r_1=\frac{\rho }{S}$$
其中，$r_1$是单位长度电阻，$\rho$是材料的电阻率，$S$是载流部分的截面积。

有色金属指的是铜和铝等，而与之对应的是黑色金属，例如铁、铬、镍。铜的电阻率为18.8，铝的电阻率为31.5。
实际计算值需要考虑：

1. 导线流过三项工频交流电流时，存在肌肤效应和临近效应，交流电阻更大。
2. 导线由多股导体扭绞而成，实际长度比导线长度大2%~3%。
3. 实际面积比标称截面积略小。

高压输电线路中，一般采用钢芯铝绞线，实际的电流截面积比导线截面积要小。

计算精度较高时，要根据实际温度进行修正：

$$r_t=r_{20}[1+\alpha (t-20)]$$

其中，$r_t$和$=r_{20}$分别为t温度和20度时的电阻，$\alpha$是电阻温度系数，钢是0.00382/C°，铝是0.0036/C°。

少量线路用钢导线，而架空线路一般用钢导线。

线路的电抗

对于导线：磁链$\psi =NBS$，其中，N是线圈匝数，B是产生的磁场，S是截面积。回路电动势$ϵ=-\frac{d\psi }{dt}$。回路电感$L=\frac{\psi }{i}$。

长直导线的磁链

假设导线为圆长直导线。

导体内部磁链计算

对于图中导线内部的磁场，先计算流过导线内半径为$x(x<r)$的圆截面的电流：
$$i=i\frac{\pi x^2}{\pi r^2}=i\frac{x^2}{r^2}$$

然后使用安培环路定律，得到半径x的圆上沿着圆切线方向的磁场强度大小：
$$H^{\prime }=\frac{i}{2\pi x}\times \frac{x^2}{r^2}=\frac{ix}{2\pi r^2}$$

如果相对磁导率不是1，那么磁通密度就是：
$$B^{\prime }=\mu H^{\prime }=\frac{\mu ix}{2\pi r^2}(T)(x<r)$$

导线内部距离中心x处，厚度为dx，长度为1m的中空圆柱体内，总磁通为：
$$\mathrm{d}{\varphi }^{\prime }=B^{\prime }\mathrm{d}x\times 1=\frac{\mu i}{2\pi r^2}x\mathrm{d}x$$

而这一部分并不匝链整个导线，只是匝链导线x半径之内的部分，所以与之对应的磁链是：

$$\mathrm{d}{\varphi }^{\prime }=\mathrm{d}{\varphi }^{\prime }\times \frac{\pi x^2}{\pi r^2}=\frac{\mu i}{2\pi r^4}{x}^{3}dx$$

算出来导线内部的总体磁链为：
$${\psi }^{\prime }={\int }_0^r\mathrm{d}{\psi }^{\prime }=\frac{\mu i}{2\pi r^4}\times \frac{r^4}{4}=\frac{\mu i}{8\pi }$$

内部磁链与导线半径无关，只和电流和导线材料有关。

导体外部磁链计算

使用安培环路定律，得到半径x的圆上沿着圆切线方向的磁场强度大小：
$$H^{\prime \prime }=\frac{i}{2\pi x}$$

外部为空气，那么磁通密度为：
$$B^{\prime \prime }=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi x}(x<r)$$

导线外部距离中心x处，厚度为dx，长度为1m的中空圆柱体内，总磁通为：
$$\mathrm{d}{\varphi }^{\prime \prime }=B^{\prime \prime }\mathrm{d}x\times 1={\mu }_{0}i\frac{\mathrm{d}x}{2\pi x}$$

这一磁通围绕整个导线，所以与之对应的磁链是：
$$\mathrm{d}{\psi }^{\prime \prime }=\mathrm{d}{\varphi }^{\prime \prime }\times 1={\mu }_{0}i\frac{\mathrm{d}x}{2\pi x}$$

这样就可以计算出从表面开始到半径为D的中空圆柱体内的全部外部磁通所形成的磁链：
$${\psi }^{\prime \prime }={\int }_r^D{\mu }_{0}i\frac{\mathrm{d}x}{2\pi x}=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi }\ln \frac{D}{r}$$

也可以算出导线外一点的半径$D_1$到导线外另一点的半径$D_2$之间的形成的中空圆柱体内的全部磁通形成的磁链：
$${\psi }_{12}^{\prime \prime }={\int }_{D_1}^{D_2}{\mu }_{0}i\frac{\mathrm{d}x}{2\pi x}=\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi }\ln \frac{D_2}{D_1}$$

将导体的内部磁链${\psi }^{\prime }$和导线表面开始到半径D的圆以内的外部磁链${\psi }^{\prime \prime }$相加，就是总磁链：
$$\psi ={\psi }^{\prime }+{\psi }^{\prime \prime }=(\ln \frac{D}{r}+\frac{{\mu }_r}{4})\frac{{\mu }_{0}i}{2\pi }(\text{Wb/m})$$

与之对应的电感可以算得：
$$L=(2\ln \frac{D}{r}+\frac{{\mu }_r}{2})\times 10^{-7}(\text{H/m})$$

三相线路的正序等值电抗

三相导线是平行架设的，可以把他们看成三根无限长直的平行导线。三相中流过对称的正序电流时，三相电流总和为0。

首先考虑一般情况，三相导线任意排列，他们之间的距离为$D_{ab},D_{bc},D_{ca}$，并设三根导线和空间内一点x的距离分别为$D_{ax},D_{bx},D_{cx}$。令各相中流过的电流分别为$i_a,i_b,i_c$。

先计算匝链a相导线的总磁链，是三相电流对其产生的磁链之和，先计算a相自己的磁链：
$${\psi }_{aa}=(\ln \frac{D_{ax}}{r}+\frac{{\mu }_r}{4})\frac{{\mu }_0{i}_a}{2\pi }$$

然后是b相对a相产生的磁链，可以看成是从两导线之间距离为$D_{ab}$开始匝链a相导线，直到距离$D_{bx}$结束：
$${\psi }_{ba}=i_b\frac{{\mu }_0}{2\pi }\ln \frac{D_{bx}}{D_{ab}}$$

同理可得c相对a相产生的磁链：
$${\psi }_{ca}=i_c\frac{{\mu }_0}{2\pi }\ln \frac{D_{cx}}{D_{ca}}$$

将上述三个式子相加，得到a相导线的总磁链：
$${\psi }_a={\psi }_{aa}+{\psi }_{ba}+{\psi }_{ca}=i_a(\frac{\mu }{8\pi }+\frac{{\mu }_0}{2\pi }\ln \frac{D_{ax}}{r})+i_b\frac{{\mu }_0}{2\pi }\ln \frac{D_{bx}}{D_{ab}}+i_c\frac{{\mu }_0}{2\pi }\ln \frac{D_{cx}}{D_{ca}}$$

为了考虑a相导线的全部磁链，将x移到无穷远处，有$D_{ax}\approx D_{bx}\approx D_{cx}$，而且三相对称，有$i_a+i_b+i_c=0$，可以得到a相导线单位长度的总磁链为：
$${\psi }_a=\left[\frac{{\mu }_r}{2}{i}_a+2\left(i_a\ln \frac{1}{r}+i_b\ln \frac{1}{D_{ab}}+i_c\ln \frac{1}{D_{ca}}\right)\right]\times 10^{-7}$$
同理可得到b相和c相的：
$$\begin{gathered} {\psi }_b=\left[\frac{{\mu }_r}{2}{i}_b+2(i_b\ln \frac{1}{r}+i_a\ln \frac{1}{D_{ab}}+i_c\ln \frac{1}{D_{bc}})\right]\times 10^{-7} \\ {\psi }_c=\left[\frac{{\mu }_r}{2}{i}_c+2(i_c\ln \frac{1}{r}+i_b\ln \frac{1}{D_{bc}}+i_a\ln \frac{1}{D_{ca}})\right]\times 10^{-7} \end{gathered}$$

${\psi }_a,{\psi }_b,{\psi }_c$不但与本导线电流有关，还取决于其他两相的电流，当$D_{ab}\ne D_{bc}\ne D_{ca}$时，三者电抗均不相等。在实际中为了使三相线路阻抗对称，常常隔一定距离将三相导线进行换位，使得每相导线均匀分布在三个位置上。

下图是输电线路的换位示意图：

对于a相，$\frac{1}{3}$的长度在位置1，再有$\frac{1}{3}$的长度在位置2，最后$\frac{1}{3}$的长度在位置3，可以列出三个位置的磁链为：
$$\begin{gathered} {\psi }_a^{(1)}=\left[\frac{{\mu }_r}{2}{i}_a+2\left(i_a\ln \frac{1}{r}+i_b\ln \frac{1}{D_{ab}}+i_c\ln \frac{1}{D_{ca}}\right)\right]\times 10^{-7} \\ {\psi }_a^{(2)}=\left[\frac{{\mu }_t}{2}{i}_a+2\left(i_a\ln \frac{1}{r}+i_b\ln \frac{1}{D_{bc}}+i_c\ln \frac{1}{D_{ab}}\right)\right]\times 10^{-1} \\ {\psi }_a^{(3)}=\left[\frac{{\mu }_t}{2}{i}_a+2\left(i_a\ln \frac{1}{r}+i_b\ln \frac{1}{D_{ca}}+i_c\ln \frac{1}{D_{bc}}\right)\right]\times 10^{-1} \end{gathered}$$

三者平均之后，得到a相导线的平均总磁链：
$$\begin{array}{rl}{\psi }_a& =\frac{1}{3}({\psi }_a^{(1)}+{\psi }_a^{(2)}+{\psi }_a^{(3)})\\ & =\frac{2}{3}[3i_a\ln \frac{1}{r}+(i_b+i_c)(\ln \frac{1}{D_{ab}{D}_{bc}{D}_{aa}})+\frac{3{\mu }_t}{4}{i}_a]\times 10^{-1}\end{array}$$

同理可以列出其他两相的表达式，可以写成一个矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{c}{\psi }_a\\ {\psi }_b\\ {\psi }_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{L}_s& L_m& L_m\\ L_m& L_s& L_m\\ L_m& L_m& L_s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]$$

将三相对称电流条件$i_b+i_c=-i_a$带入得到：
$$\begin{array}{rlr}\text{4a}& =\left(2\ln \frac{1}{r}+2\ln \sqrt[3]{D_{ab}{D}_{bc}{D}_{ca}}+\frac{{\mu }_r}{2}\right)i_a\times 10^{-\gamma }& \\ & =\left(2\ln \frac{\sqrt[3]{D_{ab}{D}_{bc}{D}_{ca}}}{r}+\frac{{\mu }_r}{2}\right)i_a\times 10^{-\gamma }& \\ & =\left(2\ln \frac{D_m}{r}+\frac{{\mu }_r}{2}\right)i_a\times 10^{-7}& \end{array}$$

其中，$D_m=\sqrt[3]{D_{ab}{D}_{bc}{D}_{ca}}$，为三相导线的互几何间距。

可以算出a相每米的正序电感值：
$$L_a=\left(2\ln \frac{D_m}{r}+\frac{\mu }{2}\right)\times 10^{-7}\left(H/m\right)$$
经过换位，三相的电感是相等的。

另外，利用矩阵也可以算出结果：
$${\psi }_a=(L_s-L_m)i_a=L{i}_a$$

可以算出线路每相没钱买的等值电抗：
$$x_1=\omega L=2\pi f(4.6\lg \frac{D_m}{r}+0.5{\mu }_r)\times 10^{-4}(\Omega \text{/km})$$

工频下，有
$$x_1=0.1445lg\frac{D_m}{r}+0.0157{\mu }_r=0.1445\lg \frac{D_m}{r^{\prime }}$$

对于非铁磁材料的单股导线，取$${\mu }_r=1,r^{\prime }=0.779r$；对于多层多股的钢芯铝绞线，实际上取$r^{\prime }=0.81r$。存在关系$r^{\prime }=r{e}^{-\frac{{\mu }_r}{4}}$

分裂导线线路的电抗

高压输电中为了防止高压电作用下导线周围空气游离而发生电晕，往往采用分裂导线。分裂导线增大了导线半径，所以可以减少导线表面的电场强度。

采用丝分裂导线的三相线路示意图：

对于每相具有n根导体的分裂导线，等值电抗为：
$$x_1=0.1445\lg \frac{D_m}{r_{eq}}+\frac{0.0157}{n}{\mu }_r(\Omega /\text{km})$$

而分裂导线的等值半径为：
$$r_{eq}=\sqrt[3]{r{d}_{12}{d}_{13}\dots d_{1n}}=\sqrt[n]{r{d}_m^{n-1}}$$

其中$r$是单根导体的半径，$d_{12},d_{13},\dots d_{1n}$是同一相中一根导体和其余n-1根导体之间的距离，$d_m$是导体之间的几何间距。

分裂根数越大，造价越高，一般分裂根数为$2,3,4$时，每千米的电抗分别为$0.33,0.30,0.28\Omega$

线路的电纳

单根长直导线的电场分布

设导线单位长度的电荷为$q$，应用高斯通量定律，距离导线中心距离x处的电通密度为：
$$D=\frac{q}{2\pi x}(C/m)$$

相应的电场强度为：
$$E=\frac{D}{ϵ}(V/m)$$

如果是空气的话，$ϵ={ϵ}_0$，则：
$$E=\frac{q}{2\pi {\epsilon }_{0}x}$$

单根长直导线表面与距离中心D处的点位差为：
$$u_{rD}=v_r-v_D=-{\int }_D^{r}Edx=-{\int }_D^r\frac{q}{2\pi {\epsilon }_0}\frac{dx}{x}=\frac{q}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{D}{r}\left(V\right)$$

导线外部一点a，到另一点b，其与导线中心的距离分别为$D_1,D_2$，那么他们之间的电位差为：
$$u_{12}=v_1-v_2=\frac{q}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{D_2}{D_1}$$

三相线路的正序电纳

大地会对三相线路周围的电场产生影响，常常将三相线看成无限长直导线，然后利用镜像法求出电场分布。方法是导线距离大地为H，在导线下方距离2H处放置一个带有等量负电荷的导线。

如图所示，可以计算出a相的导线和a相的镜像导线产生的相对于地面的电压，分别为：
$$\begin{gathered} u_{a+}=\frac{q_a}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{H}{r} \\ {u}_{a-}=-\frac{q_a}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{H}{H_1-r} \end{gathered}$$

所以，a相及其镜像产生的a相导线真实的对地面的电压为两个电压的相加：
$$u_{aa}=u_{a+}+u_{a-}=\frac{q_a}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{H_1}{r}$$

同样的步骤，可以求出b、c相及其镜像产生的a相导线真实的对地面的电压：
$$\begin{gathered} u_{ab}=\frac{q_b}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{H_{12}}{D_{ab}} \\ {u}_{ac}=\frac{q_c}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{H_{13}}{D_{ac}} \end{gathered}$$

同样的过程，可以写出b、c相导线真实的对地面的电压，并列写成矩阵的形式：
$$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\alpha }_{aa}& {\alpha }_{ab}& {\alpha }_{ac}\\ {\alpha }_{ba}& {\alpha }_{bb}& {\alpha }_{bc}\\ {\alpha }_{ca}& {\alpha }_{cb}& {\alpha }_{cc}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{q}_a\\ q_b\\ q_c\end{array}\right]$$

其中参数为：
$$\begin{gathered} {\alpha }_{aa}=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{H_1}{r} \\ {\alpha }_{bb}=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{H_2}{r} \\ {\alpha }_{cc}=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{H_3}{r} \\ {\alpha }_{ab}={\alpha }_{ba}=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{H_{12}}{D_{ab}} \\ {\alpha }_{ac}={\alpha }_{ca}=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{H_{13}}{D_{ac}} \\ {\alpha }_{bc}={\alpha }_{cb}=\frac{1}{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{H_{23}}{D_{bc}} \end{gathered}$$

${\alpha }_{ii}$和${\alpha }_{ij}$分别为自电位系数和互电位系数。

这是一个对称矩阵，但不是平衡矩阵。

第一种假设

导线为良好导体，没有压降，且$U_1=U_2=U_3$。采用上文所述（在三相线路的正序等值电抗小节中）的换位方式时，可以写出第一、二、三段的三相电压和电荷的关系：

1. 第一段
   $$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ \\ u_b\\ \\ u_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\alpha }_{aa}& {\alpha }_{ab}& {\alpha }_{ac}\\ & & \\ {\alpha }_{ba}& {\alpha }_{bb}& {\alpha }_{bc}\\ & & \\ {\alpha }_{ca}& {\alpha }_{cb}& {\alpha }_{cc}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{q}_a^{(1)}\\ \\ q_b^{(1)}\\ \\ q_c^{(1)}\end{array}\right]$$
2. 第二段
   $$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ \\ u_b\\ \\ u_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\alpha }_{bb}& {\alpha }_{bc}& {\alpha }_{ba}\\ & & \\ {\alpha }_{cb}& {\alpha }_{cc}& {\alpha }_{ca}\\ & & \\ {\alpha }_{ab}& {\alpha }_{ac}& {\alpha }_{aa}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{q}_a^{(2)}\\ \\ q_b^{(2)}\\ \\ q_c^{(2)}\end{array}\right]$$
3. 第三段
   $$\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ \\ u_b\\ \\ u_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\alpha }_{cc}& {\alpha }_{ca}& {\alpha }_{cb}\\ & & \\ {\alpha }_{ac}& {\alpha }_{aa}& {\alpha }_{ab}\\ & & \\ {\alpha }_{ba}& {\alpha }_{ba}& {\alpha }_{bb}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{q}_a^{(3)}\\ \\ q_b^{(3)}\\ \\ q_c^{(3)}\end{array}\right]$$

上述三个段的矩阵可以简写为：
$$\begin{gathered} \mathbf{u}={\mathbf{\alpha }}_{\left(1\right)}{\mathbf{q}}_{\left(1\right)} \\ \mathbf{u}={\mathbf{\alpha }}_{\left(2\right)}{\mathbf{q}}_{\left(2\right)} \\ \mathbf{u}={\mathbf{\alpha }}_{(3)}{\mathbf{q}}_{(3)} \end{gathered}$$

解出三个段的$\mathbf{q}$的矩阵：
$$\begin{gathered} {\mathbf{q}}_{\left(1\right)}={\mathbf{\alpha }}_{\left(1\right)}^{-1}\mathbf{u}={\mathbf{c}}_{\left(1\right)}\mathbf{u} \\ {\mathbf{q}}_{\left(2\right)}={\mathbf{\alpha }}_{\left(2\right)}^{-1}\mathbf{u}={\mathbf{c}}_{\left(2\right)}\mathbf{u} \\ {\mathbf{q}}_{\left(3\right)}={\mathbf{\alpha }}_{\left(3\right)}^{-1}\mathbf{u}={\mathbf{c}}_{\left(3\right)}\mathbf{u} \end{gathered}$$

电荷就取三个段的平均值
$$\mathbf{q}=\frac{1}{3}({\mathbf{q}}_{(1)}+{\mathbf{q}}_{(2)}+{\mathbf{q}}_{(3)})=\frac{1}{3}({\mathbf{c}}_{(1)}+{\mathbf{c}}_{(2)}+{\mathbf{c}}_{(3)})\mathbf{u}=\mathbf{c}\mathbf{u}$$

矩阵$\mathbf{c}=\frac{1}{3}({\mathbf{c}}_{(1)}+{\mathbf{c}}_{(2)}+{\mathbf{c}}_{(3)})$可以通过数值计算的方法计算出，写成如下的形式：
$$\left[\begin{array}{c}{q}_a\\ \\ q_b\\ \\ q_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{c}_s& c_m& c_m\\ & & \\ c_m& c_s& c_m\\ & & \\ c_m& c_m& c_s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_a\\ \\ u_b\\ \\ u_c\end{array}\right]$$

矩阵$\mathbf{c}$是平衡矩阵。

对于三相正序电压，有$u_a+u_b+u_c=0$，带入之后可得：

$$\begin{gathered} q_a=(c_s-c_m)u_a \\ {q}_b=(c_s-c_m)u_b \\ {q}_c=(c_s-c_m)u_c \end{gathered}$$

可以得到每一相的等效电容值：
$$c_1=c_s-c_m$$

实际中，线路对地距离远大于三相导线之间的距离$H\gg D$，可以算出正序等值电容：
$$C=\frac{1}{1.8\ln \frac{D_m}{r}\times 10^{10}}(\text{F/m})$$

工频下，架空线路单位长度正序等值电纳：
$$b=\omega C=\frac{7.85}{\lg \frac{D_m}{r}}\times 10^{-6}(\text{S/km})$$

第二种假设

假设三个相的电荷相等，即$q_1=q_2=q_3$。

根据相同的换位方法，也会出现三段，给每一段列出矩阵：
$$\begin{gathered} {\mathbf{u}}_1={\mathbf{\alpha }}_1{\mathbf{q}}_1 \\ {\mathbf{u}}_2={\mathbf{\alpha }}_2{\mathbf{q}}_2 \\ {\mathbf{u}}_3={\mathbf{\alpha }}_3{\mathbf{q}}_3 \end{gathered}$$

然后推出每一相的平均电压：
$$\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_a\\ \\ {\overline{u}}_b\\ \\ {\overline{u}}_c\end{array}\right]=\frac{1}{3}({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3)\cdot \left[\begin{array}{c}{q}_a\\ \\ q_b\\ \\ q_c\end{array}\right]$$

然后通过数值计算的方法，计算出矩阵的值，形式如下：
$$\left[\begin{array}{c}{\overline{u}}_a\\ \\ {\overline{u}}_b\\ \\ {\overline{u}}_c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\alpha }_s& {\alpha }_m& {\alpha }_m\\ & & \\ {\alpha }_m& {\alpha }_s& {\alpha }_m\\ & & \\ {\alpha }_m& {\alpha }_m& {\alpha }_s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{q}_a\\ \\ q_b\\ \\ q_c\end{array}\right]$$

然后带入q的关系$q_1=q_2=q_3$，求出来每一相的电压和电荷关系：
$$\begin{gathered} u_a=({\alpha }_s-{\alpha }_m)q_a \\ {u}_b=({\alpha }_s-{\alpha }_m)q_b \\ {u}_c=({\alpha }_s-{\alpha }_m)q_c \end{gathered}$$

计算出等效电容值：
$$C=\frac{1}{\alpha }=\frac{2\pi {\epsilon }_0}{\ln \frac{D_m}{r}}=\frac{5.56}{\ln \frac{D_m}{r}}\times 10^{-11}(\text{F/m})$$