【数据结构】堆和树详解堆和二叉树的实现堆的top-k问题

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1.树概念及结构

1.1 树的概念

2.2 树的相关概念

1.3 树的表示

1.4 树在实际中的运用

2.二叉树的概念及结构

2.1 二叉树的概念

2.2 特殊的二叉树

编辑2.3 二叉树的性质

2.4 二叉树的存储结构

2.5 二叉树的实现

3.堆的概念及结构

3.1 举例说明

3.2 堆（数据结构）与堆（内存）的区别

3.3 堆的意义

3.4 堆的实现

3.4.1 堆向下调整算法

3.4.2 堆的创建

3.4.2.1 创建

3.4.2.2 初始化

3.4.2.3 销毁

3.4.3 建堆时间复杂度

3.4.4 堆的插入

3.4.4.1 插入

3.4.4.2 向上调整

3.4.5 堆的删除

3.4.5.1 删除

3.4.5.2 向下调整

3.4.6 返回堆顶元素

3.4.7 判空

3.4.8 返回数据个数

3.4.9 访问

3.4.10 实现代码

3.4.10.1 Heap.h

3.4.10.2 Heap.c

3.5 堆的TOP-K问题

3.5.1 问题描述

3.5.2 算法思路

3.5.2.1 创建数据到文件中

3.5.2.2 并构建一个k个数的小堆

3.5.2.3 读取文件剩下的值

3.5.3 解决代码

1.树概念及结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为堂兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等

我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

1.4 树在实际中的运用

（表示文件系统的目录树结构）

2.二叉树的概念及结构

2.1 二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

现实中的二叉树

2.2 特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它就是满二叉树
如果一个树是满二叉树，结点总数是N，那它的高度h=log2(N+1)
每一层都是满的
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树
总结点数范围是：[2^(h-1)，2^h-1]
前h-1层是满的，最后一层不一定满，但是最后一层从左到右都是连续的

2.3 二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.
若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数2^h-1
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 ,则有n0=n2+1
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(n+1). (long2(n+1)是log以2为底，n+1为对数)
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.4 二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树

只有满二叉树或者完全二叉树才适合这种存储

父子节点间下标有一个规律关系：

leftchild = parent*2+1；
rightchild = parent*2+2；
parent = (child-1)/2；

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链。

2.5 二叉树的实现

二叉树链式结构的实现参考此文章：【数据结构】二叉树链式结构-CSDN博客

3.堆的概念及结构

堆的性质：

堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值
堆总是一棵完全二叉树

3.1 举例说明

堆一般是把数组数据看做是一棵完全二叉树

小堆要求：任意一个父亲<=孩子
大堆要求：任意一个父亲>=孩子

比如：

我们分别分析一下：这个题选A

3.2 堆（数据结构）与堆（内存）的区别

我们数据结构中学的堆和C语言操作系统中学的堆不是一个东西，他们只是名字相同而已

数据结构的堆是一棵特殊的完全二叉树
操作系统的堆是一个内存区域的划分

3.3 堆的意义

堆排序 O(N*logN)
top k问题Top K算法分析_基于向量交集的topk搜索-CSDN博客
......

3.4 堆的实现

3.4.1 堆向下调整算法

现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆

向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整

3.4.2 堆的创建

下面我们给出一个数组

现在我们通过算法，把它构建成一个堆

一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆

3.4.2.1 创建

我们用一个动态顺序表来实现堆，创建一个结构体封装顺序表

3.4.2.2 初始化

3.4.2.3 销毁

3.4.3 建堆时间复杂度

3.4.4 堆的插入

先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆

3.4.4.1 插入

这里我们以小堆为例，父亲节点小于儿子节点

以这棵树为例，

在逻辑结构上是一棵二叉树

而在物理结构上是顺序表（即数组）

如果我们分别插入10，20，30

3.4.4.2 向上调整

具体的流程如图

这里的算法思路是：插入到数组，如果child小于parent，则交换child和parent的值，child的坐标调整到parent，parent则调整到(parent-1)/2，继续进行比较交换，直到child调整到0位置结束，这就是向上调整的思路

向上调整的时间复杂度是O(logN)

3.4.5 堆的删除

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法

3.4.5.1 删除

删除我们规定删除堆顶的值，即删除根节点的值

要求删除根节点之后依然是一个堆

我们的思路是：

第一个节点和最后一个节点交换
尾删掉最后一个节点
然后从根节点开始向下调整

交换之后左右子树依旧是小堆

3.4.5.2 向下调整

向下调整算法的思路是：

找左右child节点
左右child节点比较
和较小的child节点交换
继续向下调整
调整到叶子节点就结束

向下调整的时间复杂度是O(logN)

具体的思路是：

找小节点：先找左节点，如果有右节点则比较左右节点，没有就直接是左节点

交换：如果child节点小于parent节点，则交换child和parent的值，然后parent走到child，child走到(parent*2+1)

如果走到叶子节点或者child大于parent节点就跳出循环

3.4.6 返回堆顶元素

3.4.7 判空

3.4.8 返回数据个数

3.4.9 访问

3.4.10 实现代码

堆总是一棵完全二叉树

3.4.10.1 Heap.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* a;int size;int capacity;
}HP;
//初始化
void HPInit(HP* php);
//销毁
void HPDestroy(HP* php);
//交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
//插入(小堆)
void HPPush(HP* php, HPDataType x);
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent);
//删除(根节点)
void HPPop(HP* php);
//返回堆顶数据
int HPTop(HP* php);
//判空
bool HPEmpty(HP* php);
//返回数据个数
int HPSize(HP* php);

3.4.10.2 Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"\
//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;
}
//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = 0;php->capacity = 0;
}
//交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{HPDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}elsebreak;}
}
//插入(小堆)
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int size, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < size){if ((child + 1) < size && a[child + 1] < a[child])child++;if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}elsebreak;}
}
//删除(根节点)
void HPPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
//返回堆顶数据
int HPTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}
//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}
//返回数据个数
int HPSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

3.5 堆的TOP-K问题

3.5.1 问题描述

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大

比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆

前k个最大的元素，则建小堆
前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素

将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素

3.5.2 算法思路

大致的实现代码是这样

数据量非常非常大的时候，比如在文件中有1000000000个值，找出最大的前十个

这时我们不可能建大堆去pop 10次，太消耗内存了

我们的思路是：假如TopK

创建数据到文件中
读取文件前k个值，构建一个k个数的小堆
读取文件剩下的值，与堆顶的数比较，如果比堆顶数值大，那就替换他，并向下调整
打印前k个数据

3.5.2.1 创建数据到文件中

这里我们创建数据的时候%了10000000，保证数据都是在10000000以内的

我们创建的文件就在文件夹中

3.5.2.2 并构建一个k个数的小堆

3.5.2.3 读取文件剩下的值

3.5.3 解决代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
void Swap(int* p1, int* p2)
{int tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = *p1;
}
void AdjustUp(int* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}elsebreak;}
}
void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < size){if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child]){++child;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}elsebreak;}
}
void CreatNDate()
{//造数据int n = 10000000;srand(time(0));const char* file = "data.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (int i = 0; i < n; i++){int x = (rand() + i) % 10000000;fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}
void PrintTopK(const char* file, int k)
{FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout == NULL){perror("fopen error");return;}//建一个k个数的小堆int* minheap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);if (minheap == NULL){perror("malloc fail");return;}//读取前k个数for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);//建小堆AdjustUp(minheap, i);}//读文件剩下的值int x = 0;while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF){//与堆顶进行比较if (x > minheap[0]){//替代堆顶的值minheap[0] = x;//向下调整AdjustDown(minheap, k, 0);}}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", minheap[i]);}printf("\n");fclose(fout);
}
int main()
{//CreatNDate();PrintTopK("data.txt", 5);return 0;
}

结果我们就可以找出前k个值了