0. 前言
PS：本人并不是集训队的成员，因此代码写的烂轻点喷。。。本专题一方面是巩固自己的算法知识，另一方面是给NBU学弟学妹们参考解题思路（切勿直接搬运抄袭提交作业！！！）最后，该系列博客AC代码均以Java语言提交，C/C++的可以参考思路编写代码
1. 题目详情
1.1 题目一：王老师爬楼梯
1.1.1 题目信息
题目描述：
王老师爬楼梯，他可以每次走1级或者2级或者3级楼梯，输入楼梯的级数，求不同的走法数。（要求递推求解）如果N很大，需要高精度计算。
输入要求：
一个整数N，N<=1000。
输出要求：
共有多少种走法。
输入样例：
10
输出样例：
274
来源：
NBUOJ
1.1.2 算法思路（递推=>动态规划）
本题是动态规划的入门题，可以让同学较好的从递推的思维转向动态规划思维
动态规划五步走（重要）：
- 状态定义：这一步是相当重要的，定义一个合适的状态表示是解题的关键，我们假设
dp[i]为走到第i级台阶的走法总数 - 状态转移方程：假设我们使用上一步骤的状态表示，那么我们需要思考 dp[i] 可以由哪些状态转移得到，根据题意王老师最后可以跨1步，也可以跨2步，也可以跨3步到达第i级台阶，因此可以得出状态转移方程为：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3](其中i >= 4)
- 状态初始化：由于我们在i<4时直接套用该公式会造成数组越界，因此我们需要初始化dp[1]、dp[2]、dp[3]的值
- 填表顺序：根据我们的状态转移方程，我们发现dp[i]的值可以由前三项推出，因此填表顺序是从左往右填写的
- 返回值：根据题目含义我们需要输出第n级台阶的走法个数，因此我们填表完毕后需要返回的就是dp[n]
示例：我们假设输入为4进行举例：
即通俗来说，本题的递推思路就是将王老师走到第i级台阶的最后一步的步数进行分类，一共有三种情况：
- case1（最后走了一步）：dp[i - 1]
- case2（最后走了两步）：dp[i - 2]
- case3（最后走了三步）：dp[i - 3]
1.1.3 AC代码（Java实现）
NBUOJ上面Java带中文注释会报错！因此这里放了两个版本的代码，前面不带注释的可以直接跑OJ通过，后面的方便读者阅读
1.1.3.1 温馨提示
由于本题的n值最大为1000，因此当n值过大时会溢出整数的表示范围（无论是Java的long类型还是C++的long long都不行），因此本题需要借助 大数相加 的模板，不过咱们Java程序员可以使用标准库提供的 BigInteger ，下面简单介绍相关常用的API
| API | 返回值 | 说明 |
|---|---|---|
| new BigInteger(String str) | BigInteger实例 | 使用字符串表示的数值构造实例 |
| BigInteger.valueOf(long num) | BigInteger实例 | 使用long类型表示的数值构造实例 |
| x.add(BigInteger y) | BigInteger实例 | 返回x和y所表示的大数相加的结果 |
| x.multiply(BigInteger y) | BigInteger实例 | 返回x和y所表示的大数相乘的结果 |
1.1.3.2 不带注释版本
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();BigInteger[] dp = new BigInteger[n + 1];dp[1] = BigInteger.valueOf(1);dp[2] = BigInteger.valueOf(2);dp[3] = BigInteger.valueOf(4);for (int i = 4; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1].add(dp[i - 2]).add(dp[i - 3]);}System.out.println(dp[n]);}
}
1.1.3.3 带注释版本
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();// 1. 状态定义：dp[i]表示王老师走到第i级台阶的走法数BigInteger[] dp = new BigInteger[n + 1];// 2. 状态初始化dp[1] = BigInteger.valueOf(1);dp[2] = BigInteger.valueOf(2);dp[3] = BigInteger.valueOf(4);// 3. 状态转移方程for (int i = 4; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1].add(dp[i - 2]).add(dp[i - 3]);}// 4. 返回值System.out.println(dp[n]);}
}
1.1.4 扩展题
这里放一些跟本题类似的OJ题（读者可自行尝试解题）：
- LeetCode70 爬楼梯：https://leetcode.cn/problems/climbing-stairs/
- LeetCode118 斐波那契数列：https://leetcode.cn/problems/pascals-triangle/
1.2 题目二：铺砖
1.2.1 题目信息
题目描述：
对于一个2行N列的走道。现在用12或22的砖去铺满。问有多少种不同的方式（请用递推方式求解）。如果N很大，需要高精度计算。下图是一个2行17列的走道的某种铺法：
输入要求：
一个整数N，N<=1000。
输出要求：
共有多少种铺法。
输入样例：
30
输出样例：
715827883
来源：
NBUOJ
1.2.2 算法思路（递归=>动态规划）
动态规划五步走（重要）：
- 状态定义：这一步是相当重要的，定义一个合适的状态表示是解题的关键，我们假设
dp[i]表示为2行i列的砖的铺法总数 - 状态转移方程：假设我们使用上一步骤的状态表示，那么我们需要思考 dp[i] 可以由哪些状态转移得到，根据题意我们可以根据最后一块砖的长度为1还是为2进行区分，因此可以得出状态转移方程为：dp[i] = dp[i - 1] + 2 * dp[i - 2](其中i >= 3)
- 状态初始化：由于我们在i<3时直接套用该公式会造成数组越界，因此我们需要初始化dp[1]、dp[2]的值
- 填表顺序：根据我们的状态转移方程，我们发现dp[i]的值可以由前两项推出，因此填表顺序是从左往右填写的
- 返回值：根据题目含义我们需要输出长度为n的铺砖方法数，因此我们填表完毕后需要返回的就是dp[n]
示例：也许上面的文字描述有点抽象，还是以画图进行举例：
相信此图一出，大家瞬间就明白公式：dp[i] = dp[i - 1] + 2 * dp[i - 2](其中i >= 3)的由来了，其实就是根据最后一块砖的摆法划分出不同的方案
1.2.3 AC代码（Java实现）
NBUOJ上面Java带中文注释会报错！因此这里放了两个版本的代码，前面不带注释的可以直接跑OJ通过，后面的方便读者阅读
1.2.3.1 温馨提示
由于本题的n值最大为1000，因此当n值过大时会溢出整数的表示范围（无论是Java的long类型还是C++的long long都不行），因此本题需要借助 大数相加 的模板，不过咱们Java程序员可以使用标准库提供的 BigInteger ，下面简单介绍相关常用的API
| API | 返回值 | 说明 |
|---|---|---|
| new BigInteger(String str) | BigInteger实例 | 使用字符串表示的数值构造实例 |
| BigInteger.valueOf(long num) | BigInteger实例 | 使用long类型表示的数值构造实例 |
| x.add(BigInteger y) | BigInteger实例 | 返回x和y所表示的大数相加的结果 |
| x.multiply(BigInteger y) | BigInteger实例 | 返回x和y所表示的大数相乘的结果 |
1.2.3.2 不带注释版本
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();BigInteger[] dp = new BigInteger[n + 1];dp[1] = new BigInteger("1");dp[2] = new BigInteger("3");for (int i = 3; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1].add(dp[i - 2].multiply(new BigInteger("2")));}System.out.println(dp[n]);}
}
1.2.3.3 带注释版本
import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();// 1. 状态定义：dp[i]表示2行i列的铺法数BigInteger[] dp = new BigInteger[n + 1];// 2. 状态初始化dp[1] = new BigInteger("1");dp[2] = new BigInteger("3");// 3. 状态转移方程for (int i = 3; i <= n; i++) {dp[i] = dp[i - 1].add(dp[i - 2].multiply(new BigInteger("2")));}// 4. 返回值System.out.println(dp[n]);}
}
1.3 题目三：整数分割(1)
1.3.1 题目信息
题目描述：
N年M月O日CX和ZJS同学在刚学玩整数加减后，就在那里比试谁厉害。比试内容是：将一个正整数N拆成若干个正整数的和。看谁拆的多谁就赢。为了赢得比赛，CX就向你求助一个整数的所有拆分方法。
输入要求：
输入N（ 1 <= N <= 50 ）。
输出要求：
对于N的拆分方法，请以字典序排列（数字越大越排前面）。每一种拆分之间以一个空格分开。
输入样例：
7
输出样例：
来源：
NBUOJ
1.3.2 算法思路（暴力DFS深搜）
这里直接给大家介绍我的算法思路了：观察输出用例我们可以发现，数字的排列顺序就是从大到小的，因此我们可以从大到小不断添加元素（如果>=target就回溯，其中=target的时候就进行输出）这样我们就可以不重不漏的找到所有的拆分情况
算法步骤（重要）：
- 我们设计一个递归函数
dfs(int[] numArr, int curLen, int curSum, int target, int curNum)用于查找所有的拆分情况，各个参数含义如下所示：
- numArr：保存已经被拆分的数字
- curLen：记录numArr的元素个数
- curSum：当前numArr元素之和（即已经拆分元素之和）
- target：拆分目标和
- curNum：当前需要进行匹配的元素
- 然后从
[curNum —— 1]不断从大到小尝试添加元素到拆分数组，直到所有情况都搜索完毕
1.3.3 AC代码（Java实现）
NBUOJ上面Java带中文注释会报错！因此这里放了两个版本的代码，前面不带注释的可以直接跑OJ通过，后面的方便读者阅读
1.3.3.1 优化点
本题如果使用Java语言是比较不容易过的，我的代码做优化的地方有如下几点：
- 输入输出优化：输入流将
Scanner换成了BufferReader、输出流将System.out换成了PrintWriter - 数据结构优化：使用List集合保存拆分元素，频繁调用add和remove方法，开销太大，因此我换用数组保存拆分元素；并且由于输入组数很多，打印频率非常高，于是我使用
StringBuildler保存全部的结果，最后统一打印 - 函数参数优化：此时终于将时间变成了 2016ms！最后一步优化就是将StringBuilder和numArr数组从函数参数中抽离到成员变量，省去了函数调用过程中传参的开销，至此程序优化到1703ms！
1.3.3.2 不带注释版本
package week1.blog_code.exer1002;import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.PrintStream;public class Main {private static int[] numArr = new int[51];private static StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();public static void main(String[] args) throws IOException {BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));PrintStream printStream = new PrintStream(System.out);String line = null;while ((line = reader.readLine()) != null) {int target = Integer.parseInt(line);numArr = new int[51];stringBuilder = new StringBuilder();dfs(numArr, 0, 0, target, target);printStream.print(stringBuilder.toString());}}public static void dfs(int[] numArr, int curLen, int curSum, int target, int curNum) {if (curSum == target) {for (int i = 0; i < curLen - 1; i++) {stringBuilder.append(numArr[i] + " ");}stringBuilder.append(numArr[curLen - 1] + "\n");return;}for (int i = curNum; i >= 1; i--) {if (curSum + i <= target) {numArr[curLen] = i;dfs(numArr,curLen + 1, curSum + i, target, i);}}}
}
1.3.3.3 带注释版本
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.PrintStream;public class Main {private static int[] numArr = new int[51];private static StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();public static void main(String[] args) throws IOException {// 缓冲输入流（高级版平替scanner）BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));// 打印流（高级版平替System.out.print）PrintStream printStream = new PrintStream(System.out);String line = null;while ((line = reader.readLine()) != null) {int target = Integer.parseInt(line);numArr = new int[51];stringBuilder = new StringBuilder();dfs(numArr, 0, 0, target, target);printStream.print(stringBuilder.toString());}}/*** @param numArr 当前拆分元素构成的数组* @param curLen 当前拆分数组长度* @param curSum 当前拆分方法之和* @param target 目标和* @param curNum 当前遍历到的数*/public static void dfs(int[] numArr, int curLen, int curSum, int target, int curNum) {// 出口：当前拆分和==目标和就不用继续搜索if (curSum == target) {for (int i = 0; i < curLen - 1; i++) {stringBuilder.append(numArr[i] + " ");}stringBuilder.append(numArr[curLen - 1] + "\n");return;}for (int i = curNum; i >= 1; i--) {if (curSum + i <= target) {// 将i值加入拆分数组中numArr[curLen] = i;// 继续深搜dfs(numArr,curLen + 1, curSum + i, target, i);}}}
}1.3.4 扩展题
这里放一些跟本题类似的OJ题（读者可自行尝试解题）：
- LeetCode46 全排列：https://leetcode.cn/problems/permutations/description/
- LeetCOde78 子集：https://leetcode.cn/problems/subsets/description/
![[C/C++] -- 链表](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/0c84ecd7a68342f89d4f5cc17ebed8d3.png)
