Day 55

01. 买卖股票的最佳时机含冷冻期（No. 309）

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代码随想录题解

<1> 题目

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 *i* 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

输入: prices = [1]
输出: 0

提示：

• 1 <= prices.length <= 5000
• 0 <= prices[i] <= 1000

<2> 笔记

与之前的几个买卖股票的题目相同，重点仍然是在 「状态」，本题要得到的还是通过买卖股票能得到的最大利益。之前的仅仅有买入和卖出两种状态不同，本题新增了一个 冷冻期 的状态。

1. 状态

所以对于本题中的 一天 来说，其实有四种状态，分别是：

• 状态一：当天持有股票
• 状态二：当天卖出了股票
• 状态三：在当天之前卖出了股票
• 状态四：冷冻期

状态二和状态三其实都是不持有股票的状态推演出来的。

很多朋友在刚开始做的时候可能会考虑不到第四种状态，但需要注意，这里讨论的是 某一天 的状态，而冷冻期其实也是一天的状态，否则是对于一天的状态是无法定义完全的。

2. dp 数组的定义

在明确了状态之后确认 dp 数组的含义就比较简单了，定义一个二维数组，行表示某一天，在这一天有以上的四种状态：

dp[i][0]：第 i 天 持有股票的最优情况

dp[i][1]：第 i 天 当天 卖出股票的情况

dp[i][2]：第 i 天 保持 卖出股票的状态

dp[i][3]：第 i 天 为 冷冻期 的状态

2. 递推公式

有了状态之后就可以开始思考递推公式了。

当天持有股票的状态可以由三个状态推导出：昨天的持有股票的状态、昨天为 冷冻期 的状态、在昨天 在当前之前卖出股票：

dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][0] = Math.max(dp[i][0], dp[i - 1][3] - prices[i]);

当天卖出了股票的状态仅能由昨天持有股票的状态推导出

dp[i][1] = dp[i - 1][0] + prices[i];

当天之前卖出股票的状态，即保持股票卖出状态，可以由昨天的 当天之前卖出股票 和昨天为 冷冻期 的状态来推出。

dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][3]);

冷冻期的状态，仅能由昨天为 当天卖出股票 的状态推出

dp[i][3] = dp[i - 1][1];

4. 初始化

现在来讨论一下 dp 数组的初始化，主要是第一天的数据的初始化。

（1）对于当天持有股票初始化是比较容易的，即第一天买入股票，初始化为 -prices[0]

（2）对于第一天卖出股票这一状态初始化就要考虑 意义 的情况了，即这个状态对于哪一天有意义，很容易想出就是第二天，只有第二天才会出现售出股票的情况，观察上面列出的递推公式：dp[i][1] = dp[i - 1][0] + prices[i]; 第一天初始化成什么对于第二天的取值是没有影响的，所以初始化为任意的负数即可。

要初始化为负数主要是为了考虑仅有一天的情况，因为返回的结果是在状态二三四中取一个最大值，如果将这个状态初始化为正数就会产生影响

（3）对于当天之前卖出股票的初始化，其实可以视作这个第一天就是在 前面卖出股票的状态 推导出来的，但只是金额为 0，所以直接初始化为 0 即可。

（4）对于冷冻期的状态，同样是在第二天才有意义的，同样观察递推公式，发现其只跟前一天的售出状态有关系，所以同样也是初始化为任意的负数。

总结一下：初始化的时候首先要找到这个 状态 在哪一天开始有意义，然后通过递推公式去寻找初始化成哪个值，对于到达这一天的时候值的准确性不会产生影响；对于这种第一天就有意义的数据则直接初始化即可。

<3> 代码

class Solution {public int maxProfit(int[] prices) {int[][] dp = new int[prices.length][4];dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = -1;dp[0][3] = -1;for (int i = 1; i < dp.length; i++) {dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][2] - prices[i]);dp[i][0] = Math.max(dp[i][0], dp[i - 1][3] - prices[i]);dp[i][1] = dp[i - 1][0] + prices[i];dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][3]);dp[i][3] = dp[i - 1][1];}int temp =  Math.max(dp[prices.length - 1][1], dp[prices.length - 1][2]);temp = Math.max(temp, dp[prices.length - 1][3]);return temp;}
}

02. 买卖股票的最佳时机含手续费（No. 714）

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代码随想录题解

<1> 题目

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

**注意：**这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出：6

提示：

• 1 <= prices.length <= 5 * 104
• 1 <= prices[i] < 5 * 104
• 0 <= fee < 5 * 104

<2> 笔记

1. 状态

相较于上一题，本题就简单很多，虽然加上了手续费这个一个限制条件，但其状态仅仅有两种，也就是手中持有股票的状态和卖出股票的状态。

2. dp 数组

明确一下 dp 数组的定义，定义一个二维数组，分别存储每一天的两种状态

dp[i][0] 为当前手中持有股票的状态

dp[i][1] 为当前为售出股票的状态

3. 递推公式

dp[i][0] 可以由昨天的 持有股票的状态 推出，也能由昨天 售出股票的状态 推出

dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

dp[i][1] 同样，同样可以由以上的两种状态推出：

dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i] - fee, dp[i - 1][1]);

4. 初始化

本题仍然是讨论第一天的初始化。

对于买入的状态很容易，为 -prices[0]；而对于卖出的状态，可以知道，第一天对于卖出的状态是没有意义的，所以要考虑初始化成什么不会对第二天产生影响，先来看这个状态在第二天哪里用到了：

dp[1][0] = Math.max(dp[0][0], dp[0][1] - prices[1]);

首先就是第二天的持有股票状态，为了让这个状态有意义，dp[0][1] 就要初始化为 0，因为如果第二天为股票价格为 1，第一天股票价格为 2 的话，在这个状态下肯定是要购入第二天的。

dp[1][1] = Math.max(dp[0][0] + prices[i] - fee, dp[0][1]);

然后就是第二天的售出状态，要想不对这个状态产生影响，也只能初始化为 0，或者一个极小的负数。

这里不是任意负数的原因是，前一项有可能是负数，这时候 dp[1][1] 应该定义为 0，如果后一项也为负数的话就会产生影响。

5. 总结

和前面的几个题对比，本题颇有一种 ”返璞归真“ 的感觉，在递推公式中引入手续费就可以很轻松的解决这个题。

<3> 代码

class Solution {public int maxProfit(int[] prices, int fee) {int[][] dp = new int[prices.length][2];dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = 0;for (int i = 1;i < prices.length; i++) {dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i] - fee, dp[i - 1][1]);} return dp[prices.length - 1][1];}
}